Angles et parallélisme (5ème)

Q: Quelle est la différence entre angles complémentaires et supplémentaires ?

Deux angles complémentaires ont une somme de 90^\circ, alors que deux angles supplémentaires ont une somme de 180^\circ. Par exemple, 34^\circ et 56^\circ sont complémentaires, et 49^\circ et 131^\circ sont supplémentaires.

Dans ce chapitre de géométrie, tu apprends à reconnaître les grandes familles d'angles : complémentaires, supplémentaires, adjacents, opposés par le sommet, alternes-internes et correspondants. Tu sauras ensuite calculer un angle manquant et démontrer que deux droites sont parallèles grâce aux angles.

Définitions

Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut $90^\circ$ : le complémentaire d'un angle $\alpha$ mesure $90^\circ - \alpha$ .
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut $180^\circ$ : le supplémentaire d'un angle $\alpha$ mesure $180^\circ - \alpha$ .
Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d'autre de ce côté.
Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et si les côtés de l'un prolongent les côtés de l'autre.

Angles formés par deux droites et une sécante

Deux angles alternes-internes sont à l'intérieur de la bande formée par les deux droites, de part et d'autre de la sécante, et n'ont pas le même sommet.
Deux angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur de la bande.
Deux droites coupées par une sécante déterminent deux couples d'angles alternes-internes et quatre couples d'angles correspondants.

Propriétés à retenir

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes (ou correspondants) qu'elles forment avec une sécante sont égaux.
Réciproquement, si deux angles alternes-internes (ou correspondants) sont égaux, alors les droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles.
Trois points alignés forment un angle plat de $180^\circ$ .

Exemple corrigé

Les points $M$ , $I$ , $Q$ sont alignés, ainsi que $N$ , $I$ , $P$ . On donne $\widehat{NIM} = 41^\circ$ . Calcule $\widehat{QIP}$ et $\widehat{NIQ}$ .

Les angles $\widehat{NIM}$ et $\widehat{QIP}$ sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure : $\widehat{QIP} = 41^\circ$ .
Les points $M$ , $I$ , $Q$ sont alignés, donc $\widehat{NIQ}$ et $\widehat{NIM}$ forment un angle plat : ils sont supplémentaires.
$\widehat{NIQ} = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir calculer le complémentaire et le supplémentaire d'un angle.
Savoir reconnaître des angles adjacents et opposés par le sommet.
Savoir identifier des angles alternes-internes et correspondants sur une figure.
Savoir calculer un angle en utilisant des droites parallèles.
Savoir démontrer que deux droites sont parallèles à l'aide des angles.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre angles complémentaires et supplémentaires ?

Deux angles complémentaires ont une somme de $90^\circ$ , alors que deux angles supplémentaires ont une somme de $180^\circ$ . Par exemple, $34^\circ$ et $56^\circ$ sont complémentaires, et $49^\circ$ et $131^\circ$ sont supplémentaires.

Comment reconnaître des angles alternes-internes ?

Ils sont tous les deux entre les deux droites (à l'intérieur de la bande), de part et d'autre de la sécante, et n'ont pas le même sommet. Ils forment souvent un dessin en forme de Z.

Comment prouver que deux droites sont parallèles avec les angles ?

Tu repères deux angles alternes-internes ou correspondants formés par une sécante, puis tu montres qu'ils ont la même mesure. La propriété réciproque te permet alors de conclure que les droites sont parallèles.