Applications de la dérivation (Première)

Q: Comment trouver les variations d'une fonction avec la dérivée ?

Tu calcules f'(x), tu résous f'(x) = 0 puis tu étudies le signe de f'. Là où f' est positive, f est croissante ; là où elle est négative, f est décroissante.

Q: Est-ce que f'(a) = 0 veut dire qu'il y a un extremum ?

Non, il faut aussi que f' change de signe en a. Par exemple f(x) = x^3 vérifie f'(0) = 0 mais reste croissante, donc elle n'a pas d'extremum en 0.

Q: Quelle est la formule de l'équation de la tangente ?

La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f'(a)(x - a) + f(a). Il suffit de calculer f(a) et f'(a) puis de développer.

Ce chapitre de Première montre comment utiliser la dérivée pour étudier une fonction. Tu apprends à dresser un tableau de variations à partir du signe de $f'$ , à repérer les extremums, à écrire l'équation d'une tangente et à résoudre des problèmes d'optimisation.

Variations et signe de la dérivée

Si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .
Méthode : calculer $f'(x)$ , résoudre $f'(x) = 0$ , étudier le signe de $f'$ puis dresser le tableau de variations.
Pour une fonction rationnelle, on utilise $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , dont le dénominateur est strictement positif.

Extremums

Si $f'$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $c$ .
Si $f'$ passe de $+$ à $-$ , c'est un maximum local ; si elle passe de $-$ à $+$ , c'est un minimum local.
$f'(c) = 0$ ne suffit pas : pour $f(x) = x^3$ , $f'(0) = 0$ mais $f$ n'a pas d'extremum en $0$ .
En un extremum, la tangente est horizontale, d'équation $y = f(c)$ .

Tangente et applications

La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Pour obtenir le signe d'une fonction strictement croissante, on cherche la valeur où elle s'annule.
Position relative de deux courbes : on étudie le signe de $h(x) = f(x) - g(x)$ .
Optimisation : on exprime la grandeur à rendre maximale en fonction de $x$ , puis on étudie ses variations.

Exemple corrigé

Le bénéfice d'un artisan, en milliers d'euros, est $B(x) = -0{,}5x^2 + 16x - 30$ pour $x \in [0 ; 40]$ centaines de pièces. Détermine le bénéfice maximal.

On dérive : $B'(x) = -0{,}5 \times 2x + 16 = -x + 16$ .
$B'(x) = 0 \iff x = 16$ ; $B'$ est affine de coefficient directeur $-1$ , donc positive avant $16$ et négative après.
$B$ est croissante sur $[0 ; 16]$ puis décroissante sur $[16 ; 40]$ : elle atteint son maximum en $x = 16$ .
$B(16) = -0{,}5 \times 256 + 256 - 30 = -128 + 256 - 30 = 98$ .
Le bénéfice maximal est de $98\,000$ euros, obtenu pour $1\,600$ pièces.

Ce que tu sauras faire

Savoir relier le signe de $f'$ aux variations de $f$
Savoir dresser le tableau de variations d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle
Savoir déterminer un extremum local et préciser sa nature
Savoir déterminer l'équation d'une tangente
Savoir étudier le signe d'une fonction et la position relative de deux courbes
Savoir résoudre un problème d'optimisation

Questions fréquentes

Comment trouver les variations d'une fonction avec la dérivée ?

Tu calcules $f'(x)$ , tu résous $f'(x) = 0$ puis tu étudies le signe de $f'$ . Là où $f'$ est positive, $f$ est croissante ; là où elle est négative, $f$ est décroissante.

Est-ce que $f'(a) = 0$ veut dire qu'il y a un extremum ?

Non, il faut aussi que $f'$ change de signe en $a$ . Par exemple $f(x) = x^3$ vérifie $f'(0) = 0$ mais reste croissante, donc elle n'a pas d'extremum en $0$ .

Quelle est la formule de l'équation de la tangente ?

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ . Il suffit de calculer $f(a)$ et $f'(a)$ puis de développer.