Arithmétique (3ème)

Dans ce chapitre d'arithmétique, tu vas apprendre à reconnaître les diviseurs d'un nombre, à identifier les nombres premiers et à décomposer un entier en produit de facteurs premiers. Ces outils te servent à simplifier des fractions jusqu'à les rendre irréductibles et à résoudre des problèmes de partage ou de rendez-vous.

Divisibilité

• Un entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair, par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$, par $10$ s'il se termine par $0$.
• Un entier est divisible par $3$ (ou par $9$) si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ (ou par $9$).
• Si $15$ est divisible par $3$, on dit que $3$ est un diviseur de $15$ et que $15$ est un multiple de $3$.
• Pour lister les diviseurs d'un nombre, on les cherche par couples : $30 = 1 \times 30 = 2 \times 15 = 3 \times 10 = 5 \times 6$.

Nombres premiers

• Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
• Les premiers nombres premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ et la liste est infinie.
• Le nombre $1$ n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur.
• Le crible d'Ératosthène permet de trouver tous les nombres premiers jusqu'à un entier $N$ en rayant les multiples successifs.

Décomposition et fractions

• Tout entier supérieur ou égal à $2$ se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
• On divise successivement par $2, 3, 5, 7, \ldots$ jusqu'à obtenir $1$ : $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$.
• Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si $a$ et $b$ n'ont pas d'autre diviseur commun que $1$.
• Pour rendre une fraction irréductible, on décompose numérateur et dénominateur puis on simplifie les facteurs communs.

Exemple corrigé

Rendre irréductible la fraction $\frac{72}{120}$.

1. On décompose le numérateur : $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$.
2. On décompose le dénominateur : $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$.
3. Les facteurs communs sont $2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24$, on les simplifie.
4. On obtient $\frac{72}{120} = \frac{3}{5}$, fraction irréductible car $3$ et $5$ n'ont que $1$ comme diviseur commun.

Ce que tu sauras faire

• Savoir utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10
• Savoir dresser la liste des diviseurs d'un entier
• Savoir déterminer si un nombre est premier
• Savoir décomposer un entier en produit de facteurs premiers
• Savoir rendre une fraction irréductible

Questions fréquentes

Est-ce que 1 est un nombre premier ?

Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs, $1$ et lui-même. Le nombre $1$ n'a qu'un seul diviseur, il n'est donc pas premier.

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

Tu additionnes ses chiffres : si la somme est divisible par $3$, le nombre l'est aussi. Par exemple $456$ est divisible par $3$ car $4 + 5 + 6 = 15$.

Comment décomposer un nombre en facteurs premiers ?

Tu divises le nombre par le plus petit nombre premier possible ($2$, puis $3$, $5$, $7$...) et tu recommences avec le quotient jusqu'à obtenir $1$. Les diviseurs utilisés forment la décomposition, par exemple $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$.