Arithmétique (5ème)

Q: Comment vérifier qu'un nombre est premier ?

Tu testes sa divisibilité par 2, 3, 5, 7, etc., et tu t'arrêtes dès que le carré du nombre testé dépasse le nombre étudié. Par exemple, 29 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, et 7 \times 7 = 49 > 29, donc 29 est premier.

Dans ce chapitre de nombres et calculs, tu revois la division euclidienne puis tu découvres les multiples, les diviseurs, les critères de divisibilité et les nombres premiers. Ces outils te servent à simplifier des fractions, à les additionner et à résoudre des problèmes de partage.

Division euclidienne et divisibilité

L'égalité euclidienne s'écrit : dividende $=$ diviseur $\times$ quotient $+$ reste, avec un reste toujours inférieur au diviseur.
Exemple : $97 = 4 \times 24 + 1$ .
Si $72 = 9 \times 8$ , alors $9$ et $8$ sont des diviseurs de $72$ , et $72$ est un multiple de $9$ et de $8$ .
Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, on cherche les produits par couples : $1 \times 42$ , $2 \times 21$ , $3 \times 14$ , $6 \times 7$ .

Critères de divisibilité

Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
Il est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ , et par $10$ s'il se termine par $0$ .
Il est divisible par $3$ (ou par $9$ ) si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ (ou par $9$ ).
Exemple : $738$ est divisible par $9$ car $7 + 3 + 8 = 18$ .

Nombres premiers

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Les nombres premiers inférieurs à $30$ sont $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ et $29$ .
$1$ n'est pas premier et $2$ est le seul nombre premier pair.
Le crible d'Ératosthène permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné.

Exemple corrigé

Simplifie la fraction $\frac{198}{132}$ en utilisant les critères de divisibilité.

$198$ et $132$ sont pairs : $\frac{198}{132} = \frac{99}{66}$ .
$9 + 9 = 18$ et $6 + 6 = 12$ sont divisibles par $3$ : $\frac{99}{66} = \frac{33}{22}$ .
$33 = 3 \times 11$ et $22 = 2 \times 11$ : $\frac{33}{22} = \frac{3}{2}$ .
$3$ et $2$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$ , donc $\frac{198}{132} = \frac{3}{2}$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir poser une division euclidienne et écrire l'égalité euclidienne.
Savoir dresser la liste des diviseurs d'un nombre entier.
Savoir utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
Savoir reconnaître un nombre premier.
Savoir simplifier une fraction et additionner deux fractions dont un dénominateur est multiple de l'autre.

Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

Tu additionnes ses chiffres : si la somme est divisible par $3$ , le nombre l'est aussi. Par exemple, $945$ est divisible par $3$ car $9 + 4 + 5 = 18$ .

Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?

Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'a qu'un seul diviseur, donc il n'est pas premier.

Comment vérifier qu'un nombre est premier ?

Tu testes sa divisibilité par $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , etc., et tu t'arrêtes dès que le carré du nombre testé dépasse le nombre étudié. Par exemple, $29$ n'est divisible ni par $2$ , ni par $3$ , ni par $5$ , et $7 \times 7 = 49 > 29$ , donc $29$ est premier.