Calcul de fractions (4ème)

Dans ce chapitre de 4ème, tu apprends à simplifier une fraction, à mettre des fractions au même dénominateur puis à les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser. Ces techniques te servent partout ensuite : pour résoudre des équations, calculer des proportions ou prendre une fraction d'une quantité dans un problème.

Fractions égales

• On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ avec $k \neq 0$.
• Simplifier, c'est diviser numérateur et dénominateur par un diviseur commun : $\frac{1\,260}{1\,440} = \frac{126}{144} = \frac{42}{48} = \frac{7}{8}$.
• Signe d'un quotient : $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$ et $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$.
• Pour mettre au même dénominateur, on cherche un multiple commun aux dénominateurs, par exemple $45$ pour $9$ et $15$.

Addition et soustraction

• Avec le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur : $\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a+b}{d}$.
• Avec des dénominateurs différents, il faut d'abord mettre les fractions au même dénominateur.
• Exemple : $\frac{-3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{-9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{1}{12}$.

Multiplication

• On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$.
• On ne met pas au même dénominateur pour multiplier.
• Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier : les $\frac{2}{3}$ de $\frac{4}{7}$ valent $\frac{2}{3} \times \frac{4}{7}$.
• On simplifie avant de multiplier en décomposant : $\frac{-4}{27} \times \frac{45}{8} = \frac{-5}{6}$.

Division

• L'inverse d'un nombre non nul $a$ est $\frac{1}{a}$, car $a \times \frac{1}{a} = 1$. Le nombre $0$ n'a pas d'inverse.
• L'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$, par exemple l'inverse de $\frac{3}{7}$ est $\frac{7}{3}$.
• Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.
• Exemple : $\frac{7}{9} \div 3 = \frac{7}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{27}$.

Exemple corrigé

Un libraire vend les $\frac{3}{7}$ de son stock en juin, puis les $\frac{2}{3}$ de ce qu'il reste en juillet. Son stock initial est de $840$ livres. Combien de livres lui reste-t-il ?

1. Après juin, il reste $1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ du stock.
2. En juillet, il vend $\frac{2}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{21}$ du stock.
3. Au total, il a vendu $\frac{3}{7} + \frac{8}{21} = \frac{9}{21} + \frac{8}{21} = \frac{17}{21}$ du stock.
4. Il reste $1 - \frac{17}{21} = \frac{4}{21}$ du stock, soit $\frac{4}{21} \times 840 = 160$ livres.

Ce que tu sauras faire

• Savoir simplifier une fraction par divisions successives
• Savoir mettre deux fractions au même dénominateur
• Savoir additionner et soustraire des fractions de signes quelconques
• Savoir multiplier des fractions en simplifiant avant de calculer
• Savoir déterminer l'inverse d'un nombre et diviser par une fraction
• Savoir calculer une fraction d'une quantité dans un problème

Questions fréquentes

Comment additionner deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur ?

Tu les mets d'abord au même dénominateur en cherchant un multiple commun, puis tu additionnes les numérateurs en gardant ce dénominateur. Par exemple $\frac{5}{6} + \frac{1}{18} = \frac{15}{18} + \frac{1}{18} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$.

Comment diviser une fraction par une autre fraction ?

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Par exemple $\frac{5}{6} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$.

Faut-il mettre au même dénominateur pour multiplier des fractions ?

Non. Pour multiplier, tu multiplies directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis tu simplifies si possible.