Calcul intégral (Terminale)

Dans ce chapitre d'analyse, tu apprends à définir l'intégrale d'une fonction continue comme une aire sous la courbe, puis à la calculer grâce aux primitives. Ces outils te servent à calculer des aires, des valeurs moyennes et à traiter les intégrales du bac avec l'intégration par parties.

Définitions

• Pour $f$ continue et positive sur $[a;b]$, $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$.
• La fonction $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
• Théorème fondamental : si $F$ est une primitive de $f$ continue, alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$.
• Conventions : $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ et $\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.

Propriétés

• Linéarité : $\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g$ et $\int_a^b \lambda f = \lambda \int_a^b f$.
• Relation de Chasles : $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.
• Positivité et comparaison : si $f \leqslant g$ sur $[a;b]$ avec $a \leqslant b$, alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$.
• Encadrement : si $m \leqslant f(x) \leqslant M$ sur $[a;b]$ avec $a \leqslant b$, alors $m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant M(b-a)$.

Formules à retenir

• Valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ : $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
• Aire entre la courbe et l'axe des abscisses : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x$, en découpant aux zéros de $f$.
• Aire entre deux courbes avec $f \geqslant g$ : $\mathcal{A} = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,\mathrm{d}x$.
• Intégration par parties : $\int_a^b u v' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u' v$.

Exemple corrigé

Calculer $I = \int_0^1 x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$.

1. On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$, donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$.
2. Par intégration par parties : $I = \big[x\,\mathrm{e}^x\big]_0^1 - \int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x$.
3. On calcule : $\big[x\,\mathrm{e}^x\big]_0^1 = \mathrm{e}$ et $\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e}-1$.
4. Donc $I = \mathrm{e} - (\mathrm{e}-1) = 1$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer une intégrale à l'aide d'une primitive.
• Savoir utiliser la linéarité et la relation de Chasles.
• Savoir encadrer une intégrale par comparaison.
• Savoir calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.
• Savoir calculer l'aire entre une courbe et l'axe ou entre deux courbes.
• Savoir mener une intégration par parties.

Questions fréquentes

Comment calculer une intégrale en Terminale ?

Tu cherches une primitive $F$ de $f$, puis tu calcules $F(b)-F(a)$. Par exemple $\int_1^3 (2x+5)\,\mathrm{d}x = \big[x^2+5x\big]_1^3 = 24-6 = 18$.

Une intégrale peut-elle être négative ?

Oui : si $f$ est négative sur $[a;b]$, son intégrale est négative. Pour obtenir une aire, tu intègres $|f|$ en découpant l'intervalle là où $f$ change de signe.

Comment choisir u et v' dans une intégration par parties ?

Choisis pour $u$ une fonction dont la dérivée est plus simple, en priorité un logarithme puis un polynôme. Garde l'exponentielle ou la fonction trigonométrique pour $v'$.