Calcul littéral (5ème)

Dans ce chapitre, tu apprends à utiliser des lettres pour représenter des nombres inconnus et à écrire des expressions littérales. Tu sauras calculer leur valeur, les développer avec la distributivité, les réduire et tester si une égalité est vraie, ce qui prépare la résolution d'équations.

Expressions littérales

• Une expression littérale est un calcul contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
• Pour calculer sa valeur, on remplace la lettre par le nombre donné : si $x = 7$, alors $2x + 10 = 2 \times 7 + 10 = 24$.
• Un programme de calcul se traduit par une expression : ajouter 4, puis multiplier par 2, puis soustraire le nombre de départ donne $2(x + 4) - x$.

Conventions d'écriture

• On peut supprimer le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times a = 3a$ et $5 \times (a - 3) = 5(a - 3)$.
• Le nombre s'écrit devant la lettre : on écrit $5a$ et jamais $a5$.
• $a \times a$ s'écrit $a^2$ (a au carré) et $a \times a \times a$ s'écrit $a^3$ (a au cube).

Distributivité et réduction

• Distributivité simple : $k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$.
• Développer, c'est transformer un produit en somme : $5(2a - 4) = 10a - 20$.
• Réduire, c'est regrouper les termes semblables : $3a + 7 - 5a + 2 + 6a - 4 = 4a + 5$.
• $3x + 4$ ne peut pas se réduire : un terme en $x$ et un nombre ne s'additionnent pas.

Tester une égalité

• On calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite pour la valeur donnée.
• Si les deux résultats sont égaux, l'égalité est vraie pour cette valeur ; sinon elle est fausse.
• Exemple : $4x + 7 = 127$ est vraie pour $x = 30$ car $4 \times 30 + 7 = 127$.

Exemple corrigé

L'égalité $5x - 3 = 2x + 12$ est-elle vraie pour $x = 5$ ?

1. Membre de gauche : $5 \times 5 - 3 = 25 - 3 = 22$.
2. Membre de droite : $2 \times 5 + 12 = 10 + 12 = 22$.
3. $22 = 22$, donc l'égalité est vraie pour $x = 5$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir écrire une expression littérale à partir d'une situation ou d'un programme de calcul.
• Savoir calculer la valeur d'une expression en remplaçant la lettre par un nombre.
• Savoir développer une expression avec la distributivité simple.
• Savoir réduire une expression littérale.
• Savoir tester si une égalité est vraie pour une valeur donnée.

Questions fréquentes

Comment développer 3(x + 7) ?

Tu multiplies le $3$ par chaque terme de la parenthèse : $3(x + 7) = 3 \times x + 3 \times 7 = 3x + 21$.

Que veut dire réduire une expression littérale ?

C'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables : $5x + 2x = 7x$.

Pourquoi 3x + 4 ne fait pas 7x ?

Parce que $3x$ est un terme en $x$ et $4$ est un simple nombre : ce ne sont pas des termes semblables. Pour $x = 2$, par exemple, $3x + 4 = 10$ alors que $7x = 14$.