Calcul littéral et équations (4ème)

Dans ce chapitre de 4ème, tu apprends à reconnaître une somme et un produit, à réduire, développer et factoriser des expressions littérales, puis à résoudre des équations du premier degré. Ces outils te permettent de traduire un problème concret en équation et de trouver la valeur inconnue.

Réduire une expression

• Une expression est une somme si la dernière opération effectuée est une addition ou une soustraction, un produit si c'est une multiplication.
• Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : $ax + bx = (a+b)x$.
• Exemple : $4x + 3 - 2x + 8 = 2x + 11$.
• Un signe $-$ devant une parenthèse change tous les signes : $7 - (2x - 3) = 10 - 2x$.

Développer et factoriser

• Développer, c'est transformer un produit en somme : $k(a+b) = ka + kb$.
• Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
• Factoriser, c'est transformer une somme en produit à l'aide d'un facteur commun : $ka + kb = k(a+b)$.
• Exemple : $21x^2 + 14x = 7x(3x + 2)$.

Équations du premier degré

• Une équation est une égalité contenant une inconnue ; la résoudre, c'est trouver les valeurs qui rendent l'égalité vraie.
• On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et les multiplier ou les diviser par un même nombre non nul.
• On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre : $5x - 3 = 3x + 7$ donne $2x = 10$, donc $x = 5$.
• Pour $ax = b$ avec $a \neq 0$, on divise par $a$ : $-4x = 7$ donne $x = -\frac{7}{4}$.

Exemple corrigé

Programme A : choisir un nombre, le multiplier par $4$, ajouter $10$. Programme B : choisir un nombre, le multiplier par $2$, ajouter $1$, multiplier par $3$. Pour quel nombre de départ les deux programmes donnent-ils le même résultat ?

1. On note $x$ le nombre de départ. Programme A : $4x + 10$.
2. Programme B : $3(2x + 1) = 6x + 3$.
3. On résout $4x + 10 = 6x + 3$, d'où $10 - 3 = 6x - 4x$, soit $7 = 2x$.
4. Donc $x = \frac{7}{2} = 3{,}5$ : les deux programmes donnent le même résultat pour $3{,}5$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître une somme et un produit
• Savoir réduire une expression littérale
• Savoir développer avec la simple et la double distributivité
• Savoir factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun
• Savoir tester si un nombre est solution d'une équation
• Savoir résoudre une équation du premier degré et mettre un problème en équation

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme, par exemple $4(3x + 5) = 12x + 20$. Factoriser fait l'inverse : on transforme une somme en produit, par exemple $15x - 20 = 5(3x - 4)$.

Comment résoudre une équation du premier degré en 4ème ?

Tu regroupes les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l'autre, puis tu divises par le coefficient de $x$. Par exemple $4x + 6 = x - 9$ donne $3x = -15$, donc $x = -5$.

Comment savoir si un nombre est solution d'une équation ?

Tu remplaces l'inconnue par ce nombre dans chacun des deux membres et tu calcules. Si les deux résultats sont égaux, le nombre est solution, sinon il ne l'est pas.