Calcul littéral (Seconde)

Q: Comment savoir quelle identité remarquable utiliser pour factoriser ?

Regarde le nombre de termes. S'il y a deux carrés séparés par un moins, comme 4x^2 - 25, c'est a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). S'il y a trois termes avec deux carrés et un double produit, c'est (a + b)^2 ou (a - b)^2 selon le signe du terme 2ab.

Q: Est-ce que racine de a plus racine de b est égal à racine de a + b ?

Non, en général c'est faux. Par exemple \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 alors que \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. En revanche, pour a et b positifs, \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}.

Q: Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme, par exemple 3(x + 7) = 3x + 21. Factoriser fait l'inverse : on transforme une somme en produit, par exemple 6x - 6y + 12 = 6(x - y + 2).

Dans ce chapitre de Seconde, tu apprends à développer et factoriser des expressions, à utiliser les identités remarquables et à calculer avec des fractions, des puissances et des racines carrées. Ces techniques sont la base de tous les calculs que tu feras pour résoudre des équations et étudier des fonctions.

Développer et factoriser

Développer, c'est transformer un produit en somme ; factoriser, c'est transformer une somme en produit.
Distributivité simple : $k(a + b) = ka + kb$ .
Double distributivité : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ .
Un signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur : $-(6 - x) = -6 + x$ .
Pour factoriser, on repère un facteur commun : $5x^2 - x = x(5x - 1)$ .

Identités remarquables

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Pour factoriser, on identifie $a^2$ , $2ab$ et $b^2$ : $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ et $4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5)$ .

Puissances et racines carrées

$a^n \times a^p = a^{n+p}$ , $\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$ , $(a^n)^p = a^{np}$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .
Attention : $(-2)^4 = 16$ mais $-2^4 = -16$ .
Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant a < 10$ et $n$ entier.
Pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ : $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ , mais en général $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b}$ .
Extraire un carré parfait : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ .

Exemple corrigé

Factoriser $A = (3x + 1)^2 - 49$ .

On reconnaît la forme $a^2 - b^2$ avec $a = 3x + 1$ et $b = 7$ , car $49 = 7^2$ .
On applique $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ : $A = [(3x + 1) - 7][(3x + 1) + 7]$ .
On réduit chaque crochet : $A = (3x - 6)(3x + 8)$ .
On met 3 en facteur dans le premier facteur : $A = 3(x - 2)(3x + 8)$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir développer et réduire une expression avec la simple et la double distributivité
Savoir factoriser à l'aide d'un facteur commun
Savoir utiliser les identités remarquables pour développer et pour factoriser
Savoir réduire des fractions au même dénominateur
Savoir appliquer les règles de calcul sur les puissances et la notation scientifique
Savoir simplifier une expression contenant des racines carrées

Questions fréquentes

Comment savoir quelle identité remarquable utiliser pour factoriser ?

Regarde le nombre de termes. S'il y a deux carrés séparés par un moins, comme $4x^2 - 25$ , c'est $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ . S'il y a trois termes avec deux carrés et un double produit, c'est $(a + b)^2$ ou $(a - b)^2$ selon le signe du terme $2ab$ .

Est-ce que racine de a plus racine de b est égal à racine de a + b ?

Non, en général c'est faux. Par exemple $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ alors que $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ . En revanche, pour $a$ et $b$ positifs, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ .

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme, par exemple $3(x + 7) = 3x + 21$ . Factoriser fait l'inverse : on transforme une somme en produit, par exemple $6x - 6y + 12 = 6(x - y + 2)$ .