Combinatoire et dénombrement (Terminale)

Dans ce chapitre de probabilités, tu apprends à compter méthodiquement les éléments d'un ensemble fini : listes avec ou sans répétition, permutations et combinaisons. Ces techniques sont indispensables pour calculer des probabilités et comprendre les coefficients binomiaux de la loi binomiale.

Principes de base

• Le cardinal $\text{Card}(E)$ est le nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$.
• Principe additif : si $E_1,\ldots,E_p$ sont deux à deux disjoints, $\text{Card}(E_1 \cup \cdots \cup E_p) = \text{Card}(E_1)+\cdots+\text{Card}(E_p)$.
• Réunion quelconque : $\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A \cap B)$.
• Principe multiplicatif : $\text{Card}(E_1 \times \cdots \times E_p) = \text{Card}(E_1) \times \cdots \times \text{Card}(E_p)$.

Formules à retenir

• Nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments (ordre, répétition) : $n^k$.
• Arrangements de $k$ parmi $n$ (ordre, sans répétition) : $\frac{n!}{(n-k)!}$.
• Permutations d'un ensemble à $n$ éléments : $n!$, avec $0! = 1$.
• Combinaisons de $k$ parmi $n$ (sans ordre) : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$.
• Nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments : $2^n$.

Coefficients binomiaux

• Cas particuliers : $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ et $\binom{n}{1} = n$.
• Symétrie : $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$.
• Relation de Pascal : $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.
• Formule du binôme (approfondissement) : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Exemple corrigé

Une association de 28 membres élit un comité de 5 personnes sans rôles distincts. Combien de comités sont possibles si Clara refuse de siéger avec Maxime ?

1. L'ordre ne compte pas : le nombre total de comités est $\binom{28}{5} = 98\,280$.
2. Comités contenant Clara et Maxime : on choisit 3 personnes parmi les 26 autres, soit $\binom{26}{3} = 2\,600$.
3. On retire ces cas : $98\,280 - 2\,600 = 95\,680$ comités possibles.

Ce que tu sauras faire

• Savoir utiliser les principes additif et multiplicatif.
• Savoir dénombrer des k-uplets avec ou sans répétition.
• Savoir dénombrer des permutations avec la factorielle.
• Savoir calculer et interpréter un coefficient binomial.
• Savoir utiliser la symétrie et la relation de Pascal.
• Savoir choisir le bon outil de dénombrement selon l'ordre et la répétition.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre arrangement et combinaison ?

Dans un arrangement l'ordre compte, dans une combinaison il ne compte pas. Ainsi $\{1;5\}$ et $\{5;1\}$ sont la même combinaison, mais $(1,5)$ et $(5,1)$ sont deux arrangements différents.

Comment calculer k parmi n ?

Tu utilises $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$, ou la touche nCr de la calculatrice. Par exemple $\binom{5}{3} = 10$.

Pourquoi 0! vaut 1 ?

C'est une convention qui rend les formules cohérentes, par exemple $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$ : il y a une seule façon de ne rien choisir.