Continuité des fonctions (Terminale)

Q: Comment montrer qu'une fonction est continue ?

Tu utilises les fonctions de référence et les opérations : somme, produit, quotient dont le dénominateur ne s'annule pas, composée. En un point de raccord, tu vérifies que les limites à gauche et à droite sont égales à f(a).

Q: Quand utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Quand tu dois prouver qu'une équation f(x)=k a une solution sans pouvoir la résoudre. Si la fonction est en plus strictement monotone, tu utilises le corollaire pour obtenir l'unicité.

Q: Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?

Non. La valeur absolue est continue en 0 mais pas dérivable en 0. En revanche, toute fonction dérivable est continue.

Dans ce chapitre sur les fonctions, tu apprends ce que signifie être continue en un point et sur un intervalle, et comment l'utiliser. Le théorème des valeurs intermédiaires te permet de prouver qu'une équation admet une solution et de l'encadrer, et la continuité sert aussi à trouver la limite d'une suite.

Définitions

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ ; elle est continue sur $I$ si elle l'est en tout point de $I$ .
Intuitivement, la courbe d'une fonction continue se trace sans lever le crayon.
Une fonction dérivable sur $I$ est continue sur $I$ ; la réciproque est fausse, par exemple $x \mapsto |x|$ en $0$ .
Polynômes, $\mathrm{e}^x$ , $\sin$ , $\cos$ , $|x|$ sont continues sur $\mathbb{R}$ , $\ln$ sur $]0;+\infty[$ et $\sqrt{x}$ sur $[0;+\infty[$ .

Théorèmes

TVI : si $f$ est continue sur $[a;b]$ , pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$ .
Corollaire : si de plus $f$ est strictement monotone, la solution est unique.
Image d'un segment : une fonction continue sur $[a;b]$ atteint un minimum $m$ et un maximum $M$ , et $f([a;b]) = [m;M]$ .
Si $u_n \to \ell$ et $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(u_n) \to f(\ell)$ .
Point fixe : si $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $L \in I$ avec $f$ continue sur $I$ , alors $f(L) = L$ .

Méthode

Pour une fonction définie par morceaux, compare les limites à gauche et à droite avec la valeur au point de raccord.
Pour une unique solution de $f(x)=0$ : continuité, changement de signe, stricte monotonie.
Dichotomie : on coupe l'intervalle en son milieu $c = \frac{a+b}{2}$ et on garde la moitié où $f$ change de signe.

Exemple corrigé

Montrer que $f(x) = x^3+2x-7 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;2]$ et l'encadrer au centième.

$f$ est un polynôme, donc continue sur $[1;2]$ .
$f(1) = -4 < 0$ et $f(2) = 5 > 0$ : $f$ change de signe.
$f'(x) = 3x^2+2 > 0$ : $f$ est strictement croissante, donc $\alpha$ existe et est unique.
Par balayage, $f(1{,}56) \approx -0{,}084 < 0$ et $f(1{,}57) \approx 0{,}010 > 0$ , donc $1{,}56 < \alpha < 1{,}57$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir justifier la continuité d'une fonction par opérations.
Savoir étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux.
Savoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Savoir démontrer l'existence et l'unicité d'une solution.
Savoir encadrer une solution par balayage ou dichotomie.
Savoir déterminer la limite d'une suite récurrente avec le point fixe.

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une fonction est continue ?

Tu utilises les fonctions de référence et les opérations : somme, produit, quotient dont le dénominateur ne s'annule pas, composée. En un point de raccord, tu vérifies que les limites à gauche et à droite sont égales à $f(a)$ .

Quand utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Quand tu dois prouver qu'une équation $f(x)=k$ a une solution sans pouvoir la résoudre. Si la fonction est en plus strictement monotone, tu utilises le corollaire pour obtenir l'unicité.

Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?

Non. La valeur absolue est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ . En revanche, toute fonction dérivable est continue.