Dérivation et convexité (Terminale)

Q: Comment savoir si une fonction est convexe ?

Tu calcules la dérivée seconde f'' et tu étudies son signe : si f''(x) \geqslant 0 sur I, la fonction est convexe sur I ; si f''(x) \leqslant 0, elle est concave.

Q: Comment dériver une fonction composée ?

Tu appliques (f \circ u)' = u' \times f' \circ u. Par exemple, la dérivée de (3x+5)^4 est 3 \times 4(3x+5)^3 = 12(3x+5)^3.

Dans ce chapitre d'analyse, tu complètes tes outils de dérivation avec la dérivée d'une composée et la dérivée seconde. Tu apprends ensuite à étudier la convexité d'une fonction, la position de sa courbe par rapport à ses tangentes et à repérer ses points d'inflexion.

Dérivation

Dérivée d'une composée : $(f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'\big(u(x)\big)$ .
$(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}$ et $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u > 0$ .
$(\mathrm{e}^u)' = u'\,\mathrm{e}^u$ et $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ avec $u > 0$ .
$(\cos u)' = -u'\sin u$ et $(\sin u)' = u'\cos u$ .
La dérivée seconde est $f'' = (f')'$ .

Convexité

$f$ est convexe sur $I$ si toute corde $[AB]$ de la courbe est au-dessus de la courbe ; concave si elle est au-dessous.
$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \geqslant 0$ , c'est-à-dire si $f'$ est croissante.
$f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''(x) \leqslant 0$ , c'est-à-dire si $f'$ est décroissante.
Si $f$ est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes : par exemple $\mathrm{e}^x \geqslant x+1$ pour tout réel $x$ .

Points d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : $f$ y change de convexité.
Si $f''$ s'annule et change de signe en $a$ , le point $\big(a;f(a)\big)$ est un point d'inflexion.
Méthode : calculer $f''$ , résoudre $f''(x)=0$ , vérifier le changement de signe, puis calculer $f(a)$ .

Exemple corrigé

Étudier la convexité de $f(x) = x^3-6x^2+9x+2$ et déterminer son point d'inflexion.

$f'(x) = 3x^2-12x+9$ puis $f''(x) = 6x-12$ .
$f''(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant 2$ : $f$ est convexe sur $[2;+\infty[$ et concave sur $]-\infty;2]$ .
$f''$ s'annule et change de signe en $2$ , et $f(2) = 8-24+18+2 = 4$ .
Le point $(2;4)$ est donc un point d'inflexion de la courbe.

Ce que tu sauras faire

Savoir dériver une fonction composée.
Savoir calculer une dérivée seconde.
Savoir étudier la convexité d'une fonction avec le signe de $f''$ .
Savoir déterminer un point d'inflexion.
Savoir utiliser la convexité pour établir une inégalité.

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est convexe ?

Tu calcules la dérivée seconde $f''$ et tu étudies son signe : si $f''(x) \geqslant 0$ sur $I$ , la fonction est convexe sur $I$ ; si $f''(x) \leqslant 0$ , elle est concave.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

C'est un point où la courbe traverse sa tangente, car la fonction passe de convexe à concave ou l'inverse. On le trouve là où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Comment dériver une fonction composée ?

Tu appliques $(f \circ u)' = u' \times f' \circ u$ . Par exemple, la dérivée de $(3x+5)^4$ est $3 \times 4(3x+5)^3 = 12(3x+5)^3$ .