Dérivation (Première)

Q: Qu'est-ce que le nombre dérivé ?

Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux de variation \frac{f(a+h) - f(a)}{h} quand h tend vers 0. Graphiquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.

Q: Quelle est la formule de la dérivée d'un quotient ?

Si f = \frac{u}{v} avec v qui ne s'annule pas, alors f' = \frac{u'v - uv'}{v^2}. Si le dénominateur est une constante, il est plus simple de dériver directement.

Q: Comment dériver (2x - 5)^4 ?

On utilise la formule de x \mapsto g(ax+b) avec g(x) = x^4, a = 2 et b = -5 : f'(x) = a\,g'(ax+b) avec g'(x) = 4x^3. On obtient f'(x) = 2 \times 4(2x - 5)^3 = 8(2x - 5)^3.

Dans ce chapitre de Première, tu découvres le nombre dérivé comme limite du taux de variation et son lien avec la tangente à une courbe. Tu apprends ensuite les formules de dérivation (fonctions usuelles, produit, quotient, $g(ax+b)$ ) pour étudier les variations d'une fonction.

Nombre dérivé et tangente

Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : c'est le coefficient directeur de la sécante.
$f$ est dérivable en $a$ si ce taux admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ .
La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
La fonction racine carrée est définie en $0$ mais n'y est pas dérivable.

Dérivées usuelles

$(k)' = 0$ pour une constante $k$ , et $(x)' = 1$ .
$(x^n)' = nx^{n-1}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ .
$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^*$ .
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Opérations et variations

$(u + v)' = u' + v'$ et $(ku)' = ku'$ .
$(uv)' = u'v + uv'$ .
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ et $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ .
Si $f(x) = g(ax+b)$ , alors $f'(x) = a\,g'(ax+b)$ .
Si $f' \geqslant 0$ sur $I$ , $f$ est croissante sur $I$ ; si $f' \leqslant 0$ , elle est décroissante.

Exemple corrigé

Soit $f(x) = x^3$ . Détermine $f'(2)$ à l'aide du taux de variation, puis l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $2$ .

On calcule $f(2) = 2^3 = 8$ .
Taux de variation : $\frac{(2+h)^3 - 8}{h} = \frac{12h + 6h^2 + h^3}{h} = 12 + 6h + h^2$ .
Quand $h$ tend vers $0$ , on obtient $f'(2) = 12$ , ce qui est cohérent avec $f'(x) = 3x^2$ .
$y = 12(x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8$ , donc la tangente a pour équation $y = 12x - 16$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir calculer un taux de variation
Savoir déterminer un nombre dérivé comme limite
Savoir écrire l'équation d'une tangente
Savoir dériver les fonctions usuelles
Savoir dériver une somme, un produit, un quotient et $x \mapsto g(ax+b)$
Savoir utiliser le signe de la dérivée pour obtenir les variations

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le nombre dérivé ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ . Graphiquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ .

Quelle est la formule de la dérivée d'un quotient ?

Si $f = \frac{u}{v}$ avec $v$ qui ne s'annule pas, alors $f' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ . Si le dénominateur est une constante, il est plus simple de dériver directement.

Comment dériver $(2x - 5)^4$ ?

On utilise la formule de $x \mapsto g(ax+b)$ avec $g(x) = x^4$ , $a = 2$ et $b = -5$ : $f'(x) = a\,g'(ax+b)$ avec $g'(x) = 4x^3$ . On obtient $f'(x) = 2 \times 4(2x - 5)^3 = 8(2x - 5)^3$ .