Développement et factorisation (3ème)

Dans ce chapitre d'algèbre, tu vas apprendre à développer une expression grâce à la distributivité et aux identités remarquables, puis à faire l'opération inverse : factoriser. Ces techniques te permettent de simplifier des calculs littéraux et de résoudre des équations grâce à la propriété du produit nul.

Distributivité

• Distributivité simple : $k(a + b) = ka + kb$. Développer, c'est transformer un produit en somme.
• Attention aux signes : $-(a + b) = -a - b$ et $-(a - b) = -a + b$.
• Double distributivité : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.
• Exemple : $(x+3)(x+5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$.

Identités remarquables

• Carré d'une somme : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
• Carré d'une différence : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
• Différence de deux carrés : $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
• Exemple : $(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$.

Factoriser

• Factoriser, c'est transformer une somme en produit en repérant un facteur commun : $ka + kb = k(a + b)$.
• Exemple : $4x^2 - 6x = 2x(2x - 3)$.
• On peut aussi utiliser une identité remarquable : $9x^2 - 4 = (3x + 2)(3x - 2)$.
• Propriété du produit nul : $A \times B = 0$ si et seulement si $A = 0$ ou $B = 0$.

Exemple corrigé

Un jardin rectangulaire mesure $(x + 2)$ m sur $(x + 4)$ m, avec $x$ positif. Pour quelle valeur de $x$ son aire vaut-elle $24$ m² ? On admet que $x^2 + 6x - 16 = (x + 8)(x - 2)$.

1. On développe l'aire : $(x + 2)(x + 4) = x^2 + 4x + 2x + 8 = x^2 + 6x + 8$.
2. On écrit l'équation avec $0$ d'un côté : $x^2 + 6x + 8 = 24$ équivaut à $x^2 + 6x - 16 = 0$.
3. On factorise : $(x + 8)(x - 2) = 0$, donc $x = -8$ ou $x = 2$ par la propriété du produit nul.
4. Comme $x$ est positif, $x = 2$ : le jardin mesure $4$ m sur $6$ m et $4 \times 6 = 24$ m².

Ce que tu sauras faire

• Savoir développer et réduire avec la distributivité simple
• Savoir appliquer la double distributivité
• Savoir utiliser les identités remarquables pour développer
• Savoir factoriser avec un facteur commun ou une identité remarquable
• Savoir résoudre une équation produit nul

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer, c'est transformer un produit en somme, comme $3(2 + x) = 6 + 3x$. Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en produit, comme $5x + 15 = 5(x + 3)$.

Quelles sont les 3 identités remarquables ?

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ et $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

Comment factoriser x² - 16 ?

Tu reconnais une différence de deux carrés : $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)$.