Divisibilité et nombres premiers (4ème)

Dans ce chapitre de 4ème, tu apprends les critères de divisibilité, la notion de nombre premier et la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers. Ces outils te servent à simplifier des fractions jusqu'à les rendre irréductibles et à résoudre des problèmes de partage en parts identiques.

Divisibilité

• Un entier est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair, par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$, par $10$ s'il se termine par $0$.
• Un entier est divisible par $3$ (ou par $9$) si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ (ou par $9$).
• $a$ est divisible par $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$ : $b$ est un diviseur de $a$ et $a$ est un multiple de $b$.
• Exemple : $735$ est divisible par $3$ car $7 + 3 + 5 = 15$, mais pas par $9$.

Nombres premiers

• Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
• $1$ n'est pas premier et $2$ est le seul nombre premier pair.
• Il existe une infinité de nombres premiers ; ceux inférieurs à $30$ sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.
• Le crible d'Ératosthène consiste à éliminer les multiples de $2$, $3$, $5$, $7$... pour ne garder que les nombres premiers.

Décomposition et applications

• Tout entier supérieur ou égal à $2$ se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
• Exemple : $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$, obtenu en divisant successivement par $2$, $3$, $5$...
• Pour simplifier une fraction, on décompose numérateur et dénominateur puis on barre les facteurs communs : $\frac{126}{90} = \frac{7}{5}$.
• Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont plus de facteur premier commun.

Exemple corrigé

Un pâtissier a $360$ macarons au chocolat et $480$ à la vanille. Il veut faire le plus grand nombre possible de coffrets identiques en utilisant tous les macarons. Combien de coffrets, et quelle composition ?

1. On décompose : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ et $480 = 2^5 \times 3 \times 5$.
2. Le plus grand diviseur commun est $2^3 \times 3 \times 5 = 120$.
3. Il peut réaliser $120$ coffrets.
4. Chaque coffret contient $360 \div 120 = 3$ macarons au chocolat et $480 \div 120 = 4$ macarons à la vanille.

Ce que tu sauras faire

• Savoir utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10
• Savoir employer le vocabulaire diviseur et multiple
• Savoir reconnaître un nombre premier et utiliser le crible d'Ératosthène
• Savoir décomposer un entier en produit de facteurs premiers
• Savoir rendre une fraction irréductible et reconnaître des fractions égales
• Savoir résoudre un problème de partage à l'aide du plus grand diviseur commun

Questions fréquentes

Est-ce que 1 est un nombre premier ?

Non. Un nombre premier a exactement deux diviseurs, $1$ et lui-même, alors que $1$ n'a qu'un seul diviseur.

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

Tu divises le nombre par le plus petit nombre premier possible ($2$, puis $3$, $5$, $7$...) et tu recommences avec le quotient jusqu'à obtenir $1$. Par exemple $28 = 2^2 \times 7$.

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

Tu additionnes ses chiffres : si cette somme est divisible par $3$, le nombre l'est aussi. Par exemple $345$ est divisible par $3$ car $3 + 4 + 5 = 12$.