Droites du plan (Seconde)

Dans ce chapitre de géométrie de Seconde, tu apprends à décrire une droite par une équation cartésienne ou réduite et à lire son coefficient directeur. Tu sauras ensuite étudier la position de deux droites et résoudre un système de deux équations à deux inconnues, par le calcul ou graphiquement.

Équation cartésienne

• Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul qui a la même direction que $d$.
• Toute droite admet une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;b) \neq (0\,;0)$.
• Le vecteur $\vec{u}(-b\,;a)$ est un vecteur directeur de la droite d'équation $ax + by + c = 0$.
• Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, ce qu'on vérifie avec un déterminant nul.

Équation réduite

• Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $x = n$.
• Sinon, elle a une équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
• Pour deux points $A$ et $B$ avec $x_A \neq x_B$ : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
• Deux droites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ sont parallèles si $m = m'$ et sécantes si $m \neq m'$.

Systèmes de deux équations

• Un couple solution vérifie en même temps les deux équations du système.
• Méthode par substitution : on isole une inconnue dans une équation et on la remplace dans l'autre.
• Méthode par combinaisons linéaires : on multiplie les équations pour éliminer une inconnue en les additionnant ou en les soustrayant.
• Graphiquement, la solution est le point d'intersection des deux droites : une solution si elles sont sécantes, aucune si elles sont strictement parallèles, une infinité si elles sont confondues.

Exemple corrigé

Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$ avec $A(1\,;5)$ et $B(4\,;-1)$.

1. Coefficient directeur : $m = \dfrac{-1 - 5}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = -2$.
2. L'équation est de la forme $y = -2x + p$.
3. On remplace par les coordonnées de $A$ : $5 = -2 \times 1 + p$, donc $p = 7$.
4. Vérification avec $B$ : $-2 \times 4 + 7 = -1$. L'équation réduite est $y = -2x + 7$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir déterminer un vecteur directeur d'une droite à partir d'une équation ou d'un graphique
• Savoir établir une équation cartésienne d'une droite passant par deux points
• Savoir passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite
• Savoir calculer et interpréter un coefficient directeur
• Savoir étudier la position relative de deux droites
• Savoir résoudre un système de deux équations par substitution ou par combinaisons

Questions fréquentes

Comment trouver un vecteur directeur à partir de ax + by + c = 0 ?

Le vecteur $\vec{u}(-b\,;a)$ est un vecteur directeur. Par exemple, pour $3x - 4y + 2 = 0$, on a $a = 3$ et $b = -4$, donc $\vec{u}(4\,;3)$ convient.

Comment savoir si deux droites sont parallèles ?

Avec les équations réduites, il suffit de comparer les coefficients directeurs : les droites sont parallèles si $m = m'$. Avec des équations cartésiennes, tu vérifies que le déterminant de leurs vecteurs directeurs est nul.

Quelle méthode choisir pour résoudre un système de deux équations ?

Utilise la substitution quand une inconnue est facile à isoler, par exemple avec un coefficient 1. Sinon, les combinaisons linéaires sont plus rapides : tu multiplies une équation pour éliminer une inconnue.