Ensembles de nombres (Seconde)

Q: Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre rationnel ?

Un décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 1{,}25. Un rationnel s'écrit \dfrac{p}{q} : son écriture décimale peut être infinie mais périodique, comme \dfrac{2}{3} = 0{,}666\ldots, qui est rationnel mais pas décimal.

Q: Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue comme |x - 3| ≤ 5 ?

Tu l'interprètes comme une distance : x est à une distance au plus 5 de 3. Donc 3 - 5 \leqslant x \leqslant 3 + 5, soit x \in [-2\,;8].

Q: Pourquoi racine de 2 est-elle irrationnelle ?

On raisonne par l'absurde : si \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} irréductible, alors p^2 = 2q^2, donc p est pair, puis q aussi. C'est contradictoire avec une fraction irréductible, donc \sqrt{2} n'est pas rationnel.

Dans ce chapitre de Seconde, tu apprends à classer les nombres dans les ensembles $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ , à écrire des intervalles et à utiliser la valeur absolue. Ces notions servent à écrire proprement les solutions d'inéquations et à encadrer des nombres irrationnels.

Les ensembles de nombres

$\mathbb{N}$ contient les entiers naturels, $\mathbb{Z}$ les entiers relatifs, $\mathbb{D}$ les décimaux, $\mathbb{Q}$ les rationnels et $\mathbb{R}$ les réels.
Ces ensembles sont emboîtés : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
Un nombre décimal a un développement décimal fini ; un rationnel a un développement fini ou infini périodique.
$\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal : sinon $3a = 10^n$ , or $10^n$ n'est pas multiple de 3.
Un irrationnel, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ , ne s'écrit pas $\dfrac{p}{q}$ : son développement décimal est infini et non périodique.

Intervalles

$[a\,;b]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$ , bornes incluses.
$]a\,;b[$ correspond à $a < x < b$ , bornes exclues.
Le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini, par exemple $[a\,;+\infty[$ .
L'intersection $I \cap J$ contient les réels communs à $I$ et $J$ ; la réunion $I \cup J$ ceux d'au moins un des deux.

Valeur absolue et encadrements

$|a|$ est la distance de $a$ à 0 : $|a| = a$ si $a \geqslant 0$ et $|a| = -a$ si $a < 0$ .
La distance entre $a$ et $b$ vaut $|a - b|$ .
Pour $r > 0$ : $|x - a| \leqslant r$ équivaut à $x \in [a - r\,;a + r]$ .
Attention : $\sqrt{a^2} = |a|$ , par exemple $\sqrt{(-7)^2} = 7$ .
Encadrer à $10^{-n}$ près, c'est trouver deux multiples consécutifs de $10^{-n}$ qui entourent le nombre.

Exemple corrigé

Encadrer $\sqrt{13}$ à $10^{-1}$ près, puis à $10^{-2}$ près.

Entiers : $3^2 = 9 < 13 < 16 = 4^2$ , donc $3 < \sqrt{13} < 4$ .
Dixièmes : $3{,}6^2 = 12{,}96$ et $3{,}7^2 = 13{,}69$ , donc $3{,}6 < \sqrt{13} < 3{,}7$ .
Centièmes : $3{,}60^2 = 12{,}96$ et $3{,}61^2 = 13{,}0321$ , donc $3{,}60 < \sqrt{13} < 3{,}61$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir reconnaître l'ensemble le plus petit qui contient un nombre
Savoir démontrer que $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal et que $\sqrt{2}$ est irrationnel
Savoir écrire et représenter un intervalle sur une droite graduée
Savoir déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles
Savoir calculer une valeur absolue et résoudre $|x - a| \leqslant r$
Savoir encadrer un nombre irrationnel à $10^{-n}$ près

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre rationnel ?

Un décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule, comme $1{,}25$ . Un rationnel s'écrit $\dfrac{p}{q}$ : son écriture décimale peut être infinie mais périodique, comme $\dfrac{2}{3} = 0{,}666\ldots$ , qui est rationnel mais pas décimal.

Comment résoudre une inéquation avec une valeur absolue comme |x - 3| ≤ 5 ?

Tu l'interprètes comme une distance : $x$ est à une distance au plus 5 de 3. Donc $3 - 5 \leqslant x \leqslant 3 + 5$ , soit $x \in [-2\,;8]$ .

Pourquoi racine de 2 est-elle irrationnelle ?

On raisonne par l'absurde : si $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ irréductible, alors $p^2 = 2q^2$ , donc $p$ est pair, puis $q$ aussi. C'est contradictoire avec une fraction irréductible, donc $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.