Équations du premier degré (3ème)

Q: Comment résoudre une équation du premier degré ?

Tu regroupes les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre en faisant la même opération sur les deux membres, puis tu divises par le coefficient de x. Par exemple 4x - 3 = 9 donne 4x = 12 puis x = 3.

Q: Combien de solutions a l'équation x² = a ?

Si a > 0, il y a deux solutions : \sqrt{a} et -\sqrt{a}. Si a = 0, une seule solution : 0. Si a < 0, aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.

Q: C'est quoi une équation produit nul ?

C'est une équation de la forme A \times B = 0. Comme un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, tu résous A = 0 puis B = 0.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à résoudre des équations du premier degré en isolant l'inconnue, y compris quand $x$ apparaît des deux côtés. Tu verras aussi les équations produit et l'équation $x^2 = a$ , puis comment mettre un problème en équation pour le résoudre.

Définitions

Une équation du premier degré peut se ramener à la forme $ax + b = 0$ avec $a \neq 0$ .
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui vérifient l'égalité.
Vérifier une solution, c'est remplacer $x$ par la valeur trouvée : $3 \times 4 - 2 = 10$ , donc $4$ est solution de $3x - 2 = 10$ .

Principe de résolution

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres.
On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Avec $x$ des deux côtés : $ax + b = cx + d$ donne $(a - c)x = d - b$ .
Exemple : $5x - 2 = x + 10$ donne $4x = 12$ , donc $x = 3$ .

Équations produit et x² = a

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
$(3x - 9)(2x + 4) = 0$ donne $x = 3$ ou $x = -2$ .
L'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a > 0$ , une seule solution $0$ si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ .
Pour un problème : choisir l'inconnue, traduire par une équation, résoudre, vérifier et conclure.

Exemple corrigé

Un rectangle a un périmètre de $48$ cm. Sa longueur est le double de sa largeur. Calcule ses dimensions.

Soit $x$ la largeur en cm ; la longueur vaut alors $2x$ .
Le périmètre se traduit par $2(2x + x) = 48$ , soit $6x = 48$ .
On divise par $6$ : $x = 8$ .
La largeur vaut $8$ cm et la longueur $16$ cm. Vérification : $2(16 + 8) = 48$ cm.

Ce que tu sauras faire

Savoir vérifier si un nombre est solution d'une équation
Savoir résoudre une équation du premier degré
Savoir résoudre une équation avec l'inconnue dans les deux membres
Savoir résoudre une équation produit nul
Savoir résoudre une équation du type $x^2 = a$
Savoir mettre un problème en équation

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du premier degré ?

Tu regroupes les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre en faisant la même opération sur les deux membres, puis tu divises par le coefficient de $x$ . Par exemple $4x - 3 = 9$ donne $4x = 12$ puis $x = 3$ .

Combien de solutions a l'équation x² = a ?

Si $a > 0$ , il y a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ . Si $a = 0$ , une seule solution : $0$ . Si $a < 0$ , aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.

C'est quoi une équation produit nul ?

C'est une équation de la forme $A \times B = 0$ . Comme un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, tu résous $A = 0$ puis $B = 0$ .