Fonction exponentielle (Première)

Ce chapitre de Première introduit la fonction exponentielle, unique fonction égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$. Tu apprends ses règles de calcul, son signe, ses variations et sa dérivée, pour résoudre des équations et modéliser des croissances ou décroissances exponentielles.

Définition et propriétés algébriques

• Il existe une unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ : c'est la fonction exponentielle $\exp$.
• On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ et $e^x = \exp(x)$ ; en particulier $e^0 = 1$.
• $e^{a+b} = e^a \times e^b$ et $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$.
• $(e^a)^n = e^{na}$ et $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$.
• La suite $u_n = e^{na}$ est géométrique de raison $e^a$.

Signe, dérivée et variations

• Pour tout réel $x$, $e^x > 0$ : l'équation $e^x = 0$ n'a aucune solution.
• $(e^x)' = e^x$ et $(e^{ax+b})' = a\,e^{ax+b}$.
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• $x \mapsto e^{kx}$ est croissante si $k > 0$ et décroissante si $k < 0$.
• La tangente à la courbe au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = x + 1$.

Équations et inéquations

• $e^a = e^b \iff a = b$.
• $e^a < e^b \iff a < b$ et $e^a \leqslant e^b \iff a \leqslant b$.
• Pour une équation en $e^{2x}$ et $e^x$, on pose $X = e^x$ avec $X > 0$.
• Attention : $e^a + e^b \neq e^{a+b}$, il n'y a pas de formule pour une somme.

Exemple corrigé

Étudie les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x+1)e^x$.

1. Avec $(uv)' = u'v + uv'$, $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = e^x$ : $f'(x) = 2e^x + (2x+1)e^x = (2x+3)e^x$.
2. Comme $e^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $2x + 3$, qui s'annule en $x = -\frac{3}{2}$.
3. $f$ est décroissante sur $\left]-\infty ; -\frac{3}{2}\right]$ et croissante sur $\left[-\frac{3}{2} ; +\infty\right[$.
4. Elle admet un minimum $f\left(-\frac{3}{2}\right) = (-3+1)e^{-3/2} = -2e^{-3/2} \approx -0{,}446$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir utiliser les propriétés algébriques de l'exponentielle pour simplifier
• Savoir dériver $e^{ax+b}$ et un produit contenant $e^x$
• Savoir étudier le signe et les variations d'une fonction comportant une exponentielle
• Savoir résoudre une équation ou une inéquation du type $e^a = e^b$ ou $e^a < e^b$
• Savoir modéliser une croissance ou une décroissance par $x \mapsto e^{kx}$

Questions fréquentes

Pourquoi l'exponentielle est-elle toujours positive ?

On montre que $e^x \times e^{-x} = 1$, donc $e^x$ ne s'annule jamais, et $e^x = (e^{x/2})^2 \geqslant 0$. Ainsi $e^x > 0$ pour tout réel $x$.

Quelle est la dérivée de $e^{3x}$ ?

La dérivée de $e^{ax+b}$ est $a\,e^{ax+b}$. Avec $a = 3$ et $b = 0$, la dérivée de $e^{3x}$ est $3e^{3x}$.

Comment résoudre $e^{3x-1} = e^{x+5}$ ?

Comme l'exponentielle est strictement croissante, $e^a = e^b$ équivaut à $a = b$. On résout $3x - 1 = x + 5$, soit $2x = 6$, d'où $x = 3$.