Fonctions affines (3ème)

Dans ce chapitre, tu vas découvrir les fonctions affines, linéaires et constantes, et apprendre à les représenter par une droite. Tu sauras lire et calculer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, ce qui te permet de comparer des tarifs ou de modéliser des situations de la vie courante.

Définitions

• Une fonction affine s'écrit $x \mapsto ax + b$, avec $a$ et $b$ deux nombres fixés.
• Si $b = 0$, la fonction $x \mapsto ax$ est linéaire : elle traduit une situation de proportionnalité.
• Si $a = 0$, la fonction $x \mapsto b$ est constante.
• Exemple : $l(x) = 2(x - 3) = 2x - 6$ est affine avec $a = 2$ et $b = -6$.

Représentation graphique

• Une fonction affine est représentée par une droite ; deux points suffisent pour la tracer.
• Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine.
• Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses.
• Un point $M(x_0\,;\,y_0)$ appartient à la droite de $f$ si et seulement si $f(x_0) = y_0$.

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

• $a$ est le coefficient directeur et $b = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine.
• Avec deux points $A$ et $B$ de la droite : $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
• Si $a > 0$, $f$ est croissante ; si $a < 0$, $f$ est décroissante ; si $a = 0$, $f$ est constante.

Exemple corrigé

Un plombier facture $40$ € de déplacement et $35$ € par heure. Exprime le coût $f(x)$ pour $x$ heures, calcule le coût de $3$ heures, puis le nombre d'heures pour une facture de $215$ €.

1. Le coût est $f(x) = 35x + 40$ : c'est une fonction affine avec $a = 35$ et $b = 40$.
2. Pour $3$ heures : $f(3) = 35 \times 3 + 40 = 105 + 40 = 145$ €.
3. Pour une facture de $215$ € : $35x + 40 = 215$, donc $35x = 175$.
4. On obtient $x = 5$ : le plombier a travaillé $5$ heures.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître une fonction affine, linéaire ou constante
• Savoir identifier $a$ et $b$ dans l'expression $ax + b$
• Savoir tracer la droite représentative d'une fonction affine
• Savoir lire graphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
• Savoir vérifier si un point appartient à une droite
• Savoir modéliser une situation par une fonction affine

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$. Une fonction linéaire est le cas particulier où $b = 0$, soit $f(x) = ax$ : sa droite passe par l'origine et elle traduit une situation de proportionnalité.

Comment trouver le coefficient directeur d'une droite ?

Tu prends deux points $A$ et $B$ de la droite et tu calcules $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Par exemple, une droite passant par $(0\,;\,3)$ et $(2\,;\,7)$ a pour coefficient directeur $\frac{7 - 3}{2 - 0} = 2$.

Comment tracer une fonction affine ?

Tu calcules deux images, par exemple $f(0)$ et $f(2)$, tu places les deux points correspondants dans le repère et tu traces la droite qui les relie.