Fonctions : généralités (Seconde)

Q: Quelle est la différence entre image et antécédent ?

L'image est le nombre obtenu en sortie : si f(3) = 7, l'image de 3 est 7. L'antécédent est le nombre de départ : 3 est un antécédent de 7. Un nombre a une seule image mais peut avoir plusieurs antécédents.

Q: Comment savoir si un point appartient à la courbe d'une fonction ?

Tu calcules l'image de l'abscisse du point et tu compares avec son ordonnée. Par exemple, pour f(x) = x^2 + 5, f(-3) = 9 + 5 = 14, donc le point (-3\,;14) est sur la courbe.

Q: Comment résoudre graphiquement f(x) > 5 ?

Trace la droite horizontale y = 5 et repère la partie de la courbe strictement au-dessus. Les solutions sont les abscisses de ces points ; pour f(x) = 6x - x^2, on lit S = ]1\,;5[.

Dans ce chapitre de Seconde, tu découvres la notion de fonction, une machine qui associe à chaque nombre une unique image. Tu apprends à calculer et lire des images et des antécédents, à tracer une courbe et à résoudre graphiquement des équations et des inéquations.

Vocabulaire

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de définition un unique nombre $f(x)$ , qu'on écrit aussi $f : x \mapsto f(x)$ .
$f(x)$ est l'image de $x$ ; si $f(x) = y$ , alors $x$ est un antécédent de $y$ .
Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
Pour trouver un antécédent par le calcul, on résout l'équation $f(x) = y$ .
Un tableau de valeurs résume des images calculées.

Courbe représentative

La courbe de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;f(x))$ ; elle a pour équation $y = f(x)$ .
Un point $(a\,;b)$ appartient à la courbe si et seulement si $f(a) = b$ .
On lit une image en partant de l'axe des abscisses et un antécédent en partant de l'axe des ordonnées.
Un tableau de signes indique où $f(x)$ est positif, négatif ou nul : par exemple $x^2 - 4x$ s'annule en 0 et 4 et est négatif entre les deux.

Résolution graphique

Les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$ .
Les solutions de $f(x) > k$ sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessus de la droite $y = k$ .
Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes ; $f(x) < g(x)$ quand la courbe de $g$ est au-dessus.
Une lecture graphique donne des solutions approchées.

Exemple corrigé

Soit $g(x) = 3x + 2$ . Déterminer l'antécédent de $-7$ par $g$ .

On cherche $x$ tel que $g(x) = -7$ , soit $3x + 2 = -7$ .
On isole le terme en $x$ : $3x = -7 - 2 = -9$ .
On divise par 3 : $x = -3$ .
Vérification : $g(-3) = 3 \times (-3) + 2 = -7$ . L'antécédent de $-7$ est $-3$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir utiliser les notations $f(x)$ et $x \mapsto f(x)$
Savoir calculer l'image d'un nombre par une fonction
Savoir déterminer un antécédent par le calcul ou par lecture graphique
Savoir vérifier si un point appartient à une courbe
Savoir dresser un tableau de signes à partir d'une courbe
Savoir résoudre graphiquement $f(x) = k$ , $f(x) > k$ et $f(x) < g(x)$

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre image et antécédent ?

L'image est le nombre obtenu en sortie : si $f(3) = 7$ , l'image de 3 est 7. L'antécédent est le nombre de départ : 3 est un antécédent de 7. Un nombre a une seule image mais peut avoir plusieurs antécédents.

Comment savoir si un point appartient à la courbe d'une fonction ?

Tu calcules l'image de l'abscisse du point et tu compares avec son ordonnée. Par exemple, pour $f(x) = x^2 + 5$ , $f(-3) = 9 + 5 = 14$ , donc le point $(-3\,;14)$ est sur la courbe.

Comment résoudre graphiquement f(x) > 5 ?

Trace la droite horizontale $y = 5$ et repère la partie de la courbe strictement au-dessus. Les solutions sont les abscisses de ces points ; pour $f(x) = 6x - x^2$ , on lit $S = ]1\,;5[$ .