Fonctions de référence (Seconde)

Dans ce chapitre de Seconde, tu découvres les fonctions de référence : carré, racine carrée, inverse et cube, avec leurs courbes et leurs variations. Tu apprends aussi à reconnaître une fonction paire ou impaire, ce qui t'aide à comparer des images et à tracer des courbes plus vite.

Parité

• $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ de $D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
• Le domaine de définition doit être symétrique par rapport à 0 ; sinon la fonction n'est ni paire ni impaire.
• Exemple : $f(x) = 3x^2 - 7$ est paire car $f(-x) = 3(-x)^2 - 7 = 3x^2 - 7$.

Fonctions carré et racine carrée

• La fonction carré $x \mapsto x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$, paire, et sa courbe est une parabole.
• Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, avec un minimum 0 en $x = 0$.
• L'équation $x^2 = k$ a deux solutions $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$ si $k > 0$, une seule si $k = 0$, aucune si $k < 0$.
• La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie et croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Fonctions inverse et cube

• La fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ; sa courbe est une hyperbole.
• Elle est impaire et décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.
• La fonction cube $x \mapsto x^3$ est définie sur $\mathbb{R}$, impaire et croissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $x \geqslant 1$, $x^3 \geqslant x^2 \geqslant x$ ; si $0 \leqslant x \leqslant 1$, l'ordre est inversé, car $x^2 - x = x(x - 1)$ et $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$.

Exemple corrigé

Soit $f(x) = 3 + \dfrac{4}{x}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Calculer $f(8)$ puis l'antécédent de 7.

1. Image de 8 : $f(8) = 3 + \dfrac{4}{8} = 3 + 0{,}5 = 3{,}5$.
2. Pour l'antécédent de 7, on résout $3 + \dfrac{4}{x} = 7$, donc $\dfrac{4}{x} = 4$.
3. On en déduit $x = \dfrac{4}{4} = 1$.
4. Vérification : $f(1) = 3 + 4 = 7$. L'antécédent de 7 est 1.

Ce que tu sauras faire

• Savoir démontrer qu'une fonction est paire ou impaire
• Savoir tracer l'allure des courbes des fonctions carré, racine carrée, inverse et cube
• Savoir donner le sens de variation de chaque fonction de référence
• Savoir résoudre une équation du type $x^2 = k$
• Savoir comparer des images en utilisant les variations
• Savoir comparer $x$, $x^2$ et $x^3$ selon les valeurs de $x$

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une fonction est paire ?

Tu vérifies que son domaine est symétrique par rapport à 0, puis tu calcules $f(-x)$. Si tu retrouves exactement $f(x)$, la fonction est paire et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction inverse est-elle décroissante sur R ?

Non : elle n'est pas définie en 0. Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$, mais pas sur leur réunion, puisque $-1 < 1$ et $\dfrac{1}{-1} < \dfrac{1}{1}$.

Combien de solutions a l'équation x² = 25 ?

Elle en a deux, car $25 > 0$ : $x = -5$ et $x = 5$, puisque $(-5)^2 = 5^2 = 25$. On note $S = \{-5\,;5\}$.