Fonctions trigonométriques (Terminale)

Dans ce chapitre sur les fonctions, tu étudies les fonctions sinus et cosinus comme de vraies fonctions : parité, périodicité, dérivées et variations. Tu apprends aussi à utiliser les formules d'addition et de duplication, à calculer la limite de $\frac{\sin x}{x}$ en $0$ et à résoudre des équations trigonométriques.

Propriétés de base

• Pour tout réel $x$ : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ et $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$.
• $\cos$ est paire, $\sin$ est impaire, et les deux sont $2\pi$-périodiques.
• $(\sin x)' = \cos x$ et $(\cos x)' = -\sin x$.
• $\big[\sin(ax+b)\big]' = a\cos(ax+b)$ et $\big[\cos(ax+b)\big]' = -a\sin(ax+b)$.

Formules à retenir

• $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ et $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.
• $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin(2a) = 2\sin a\cos a$.
• Linéarisation : $\cos^2 a = \frac{1+\cos(2a)}{2}$ et $\sin^2 a = \frac{1-\cos(2a)}{2}$.
• Limite remarquable : $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$.

Équations

• $\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
• $\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Pour une inéquation, on lit les solutions sur le cercle trigonométrique, par exemple $\cos x \geqslant \frac{1}{2}$ sur $[-\pi;\pi]$ donne $\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]$.

Exemple corrigé

Calculer la valeur exacte de $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)$.

1. On écrit $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$.
2. Formule d'addition : $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}$.
3. On remplace : $\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Résultat : $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir dériver des fonctions trigonométriques et leurs composées.
• Savoir étudier les variations de sinus et cosinus.
• Savoir utiliser les formules d'addition et de duplication.
• Savoir calculer une limite avec $\frac{\sin x}{x}$.
• Savoir résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique.
• Savoir étudier une fonction trigonométrique en utilisant parité et périodicité.

Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de sin et de cos ?

La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$ et celle de $\cos x$ est $-\sin x$. Pour $\sin(ax+b)$, la dérivée est $a\cos(ax+b)$.

Comment résoudre sin x = 1/2 ?

Tu écris $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$, donc $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Sur $[-\pi;\pi]$, les solutions sont $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$.

Comment calculer la limite de sin(5x)/x en 0 ?

Tu écris $\frac{\sin(5x)}{x} = 5 \times \frac{\sin(5x)}{5x}$. Comme $\frac{\sin(5x)}{5x}$ tend vers $1$, la limite vaut $5$.