Géométrie dans l'espace (3ème)

Dans ce chapitre de géométrie dans l'espace, tu vas réviser les solides usuels et leurs formules de volume, étudier l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction et découvrir les sections planes. Tu apprendras aussi à te repérer dans un pavé droit et sur la sphère terrestre avec la latitude et la longitude.

Formules de volumes

• Prisme droit et cylindre : $V = \mathcal{A}_b \times h$, soit $V = \pi r^2 h$ pour le cylindre.
• Pyramide et cône : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_b \times h$, soit $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ pour le cône.
• Boule de rayon $r$ : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
• Aire d'une sphère : $\mathcal{A} = 4\pi r^2$ ; aire latérale d'un cylindre : $2\pi r h$.

Agrandissement et réduction

• Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$.
• Les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
• Les angles sont conservés.

Sections et repérage

• La section d'un cylindre par un plan parallèle à la base est un disque de même rayon.
• La section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base.
• La section d'une sphère par un plan est un cercle ; son rayon vérifie $r^2 = R^2 - d^2$.
• Dans un pavé droit, un point est repéré par son abscisse, son ordonnée et son altitude ; sur Terre, par sa latitude et sa longitude.

Exemple corrigé

Un cône a un rayon de base de $4$ cm et une hauteur de $9$ cm. Calcule son volume, puis celui du petit cône obtenu en le coupant parallèlement à la base, à $3$ cm du sommet.

1. Volume du cône : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 9 = 48\pi \approx 150{,}8$ cm³.
2. La section est un disque et le petit cône est une réduction de rapport $k = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
3. Les volumes sont multipliés par $k^3 = \frac{1}{27}$.
4. Volume du petit cône : $48\pi \times \frac{1}{27} = \frac{16\pi}{9} \approx 5{,}6$ cm³.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer le volume d'un prisme, d'un cylindre, d'une pyramide, d'un cône et d'une boule
• Savoir calculer l'aire d'une sphère
• Savoir utiliser l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, aires et volumes
• Savoir reconnaître la nature d'une section plane d'un solide
• Savoir se repérer dans un pavé droit et sur la sphère terrestre

Questions fréquentes

Quelle est la formule du volume d'un cône ?

Le volume d'un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ est $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, soit le tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur.

Que devient le volume si on double les longueurs ?

Dans un agrandissement de rapport $k = 2$, le volume est multiplié par $k^3 = 8$, et non par $2$. Les aires, elles, sont multipliées par $4$.

Quelle est la section d'une sphère par un plan ?

C'est toujours un cercle. Si le plan passe par le centre, c'est un grand cercle ; sinon, son rayon $r$ vérifie $r^2 = R^2 - d^2$, où $d$ est la distance du centre au plan.