Géométrie dans l'espace et transformations (4ème)

Q: Quelle est la formule du volume d'un cône ?

Le volume d'un cône de révolution est V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h, avec r le rayon de la base et h la hauteur. Par exemple pour r = 5 cm et h = 12 cm, V = 100\pi \approx 314 cm^3.

Q: Que devient une aire quand on agrandit une figure de rapport k ?

L'aire est multipliée par k^2. Par exemple avec une réduction de rapport 0{,}4, une aire de 24 cm^2 devient 24 \times 0{,}16 = 3{,}84 cm^2.

Q: Qu'est-ce qu'une translation en 4ème ?

C'est un glissement de toute la figure selon une direction, un sens et une longueur donnés, par exemple ceux qui font passer de A à B. La figure obtenue est superposable à la figure de départ.

Dans ce chapitre de 4ème, tu apprends à calculer le volume d'une pyramide et d'un cône de révolution, à construire l'image d'une figure par une translation et à utiliser un agrandissement ou une réduction. Ces notions servent à mesurer des solides réels, lire des maquettes ou des plans à l'échelle.

Volumes

Volume d'une pyramide : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ , où $h$ est la distance du sommet au plan de la base.
Volume d'un cône de révolution : $V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$ .
Exemple : pyramide à base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $9$ cm : $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 9 = 108$ cm $^3$ .
Une pyramide ou un cône a un volume égal au tiers de celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.

La translation

La translation qui transforme $A$ en $B$ fait glisser chaque point dans la même direction, le même sens et sur la même longueur.
Si $M'$ est l'image de $M$ , alors $ABM'M$ est un parallélogramme.
La translation conserve les longueurs, les angles, le parallélisme, les aires et l'alignement.
Dans un repère, si $A(1;2)$ a pour image $B(4;5)$ , alors $M(3;1)$ a pour image $M'(6;4)$ .

Agrandissement et réduction

Agrandir ou réduire de rapport $k > 0$ , c'est multiplier toutes les longueurs par $k$ en conservant les angles.
Si $k > 1$ c'est un agrandissement, si $0 < k < 1$ c'est une réduction.
Les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$ .
Une échelle est un rapport de réduction : à l'échelle $\frac{1}{18}$ , une voiture de $4{,}5$ m donne un modèle de $25$ cm.

Exemple corrigé

Un pavé droit mesure $4$ cm, $3$ cm et $2$ cm. On l'agrandit avec un rapport $k = 3$ . Calcule le nouveau volume.

Volume initial : $V = 4 \times 3 \times 2 = 24$ cm $^3$ .
Les volumes sont multipliés par $k^3 = 3^3 = 27$ .
Nouveau volume : $24 \times 27 = 648$ cm $^3$ .
Vérification avec les nouvelles dimensions $12$ , $9$ et $6$ cm : $12 \times 9 \times 6 = 648$ cm $^3$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir calculer le volume d'une pyramide
Savoir calculer le volume d'un cône de révolution
Savoir construire l'image d'un point ou d'une figure par une translation
Savoir utiliser les propriétés de conservation de la translation
Savoir calculer des longueurs, aires et volumes après un agrandissement ou une réduction
Savoir utiliser une échelle comme rapport de réduction

Questions fréquentes

Quelle est la formule du volume d'un cône ?

Le volume d'un cône de révolution est $V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$ , avec $r$ le rayon de la base et $h$ la hauteur. Par exemple pour $r = 5$ cm et $h = 12$ cm, $V = 100\pi \approx 314$ cm $^3$ .

Que devient une aire quand on agrandit une figure de rapport k ?

L'aire est multipliée par $k^2$ . Par exemple avec une réduction de rapport $0{,}4$ , une aire de $24$ cm $^2$ devient $24 \times 0{,}16 = 3{,}84$ cm $^2$ .

Qu'est-ce qu'une translation en 4ème ?

C'est un glissement de toute la figure selon une direction, un sens et une longueur donnés, par exemple ceux qui font passer de $A$ à $B$ . La figure obtenue est superposable à la figure de départ.