Géométrie plane (Seconde)

Q: Qu'est-ce que le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

C'est le pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point. Ce projeté H est le point de la droite le plus proche de M, et la longueur MH est la distance de M à la droite.

Q: Comment démontrer que cos² + sin² = 1 ?

Dans un triangle rectangle d'hypoténuse a et de côtés b et c, on a \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = \dfrac{c^2 + b^2}{a^2}. Or, d'après Pythagore, b^2 + c^2 = a^2, donc la somme vaut 1.

Q: Comment calculer l'aire d'un triangle avec un angle ?

Si tu connais deux côtés b et c et l'angle aigu \widehat{A} qu'ils forment, l'aire vaut \dfrac{1}{2}\, b\, c \sin(\widehat{A}). Par exemple, avec 9 cm, 6 cm et 40^\circ, on trouve environ 17{,}4 cm².

Dans ce chapitre de géométrie plane de Seconde, tu revois les configurations du triangle, des quadrilatères et du cercle, puis tu découvres le projeté orthogonal. Tu utilises la trigonométrie et le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs, des angles et des aires, jusqu'à résoudre des problèmes d'optimisation.

Configurations

La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ .
Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit, les médianes au centre de gravité, les hauteurs à l'orthocentre et les bissectrices au centre du cercle inscrit.
Le centre de gravité est situé aux $\dfrac{2}{3}$ de chaque médiane en partant du sommet.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu ; celles d'un rectangle sont de même longueur, celles d'un losange perpendiculaires.
Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur une droite $\Delta$ est le point de $\Delta$ tel que $(MH)$ est perpendiculaire à $\Delta$ .
$H$ est le point de $\Delta$ le plus proche de $M$ : pour tout $P \neq H$ de $\Delta$ , $MH < MP$ , d'après Pythagore.
La distance de $M$ à la droite $\Delta$ est la longueur $MH$ .
La hauteur issue de $A$ dans un triangle $ABC$ est le segment $[AH]$ , avec $H$ projeté de $A$ sur $(BC)$ .

Trigonométrie et aires

Dans un triangle rectangle : $\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ .
Relation fondamentale : $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ .
Valeurs remarquables : $\cos(60^\circ) = \sin(30^\circ) = \dfrac{1}{2}$ et $\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
Si $\widehat{A}$ est aigu, l'aire d'un triangle vaut $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\, b\, c \sin(\widehat{A})$ .
Pour optimiser, on choisit une variable $x$ , on écrit la grandeur sous la forme $f(x)$ puis on cherche son maximum ou son minimum.

Exemple corrigé

Avec 24 m de clôture, on forme un enclos rectangulaire. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?

Soit $x$ la largeur. Le périmètre donne $2x + 2L = 24$ , donc $L = 12 - x$ , avec $0 < x < 12$ .
L'aire vaut $f(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x$ .
Forme canonique : $f(x) = -(x - 6)^2 + 36$ , donc $f(x) \leqslant 36$ .
Le maximum vaut $f(6) = 36$ : l'aire maximale est de $36$ m², obtenue pour un carré de côté 6 m.

Ce que tu sauras faire

Savoir utiliser les droites et points remarquables d'un triangle
Savoir définir et construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Savoir démontrer que le projeté orthogonal est le point le plus proche
Savoir calculer une longueur ou un angle avec cosinus, sinus et tangente
Savoir utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque
Savoir résoudre un problème d'optimisation géométrique

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

C'est le pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point. Ce projeté $H$ est le point de la droite le plus proche de $M$ , et la longueur $MH$ est la distance de $M$ à la droite.

Comment démontrer que cos² + sin² = 1 ?

Dans un triangle rectangle d'hypoténuse $a$ et de côtés $b$ et $c$ , on a $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = \dfrac{c^2 + b^2}{a^2}$ . Or, d'après Pythagore, $b^2 + c^2 = a^2$ , donc la somme vaut 1.

Comment calculer l'aire d'un triangle avec un angle ?

Si tu connais deux côtés $b$ et $c$ et l'angle aigu $\widehat{A}$ qu'ils forment, l'aire vaut $\dfrac{1}{2}\, b\, c \sin(\widehat{A})$ . Par exemple, avec $9$ cm, $6$ cm et $40^\circ$ , on trouve environ $17{,}4$ cm².