Géométrie repérée (Première)

Q: Comment trouver une équation de droite avec un vecteur normal ?

Si \vec{n}(a ; b) est normal à la droite, son équation est de la forme ax + by + c = 0. Tu trouves c en remplaçant x et y par les coordonnées d'un point de la droite.

Q: Quelle est l'équation d'un cercle ?

Le cercle de centre \Omega(x_\Omega ; y_\Omega) et de rayon r a pour équation (x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 = r^2, car un point M est sur le cercle si et seulement si \Omega M^2 = r^2.

Q: Comment savoir si deux droites sont perpendiculaires ?

Pour d : ax + by + c = 0 et d' : a'x + b'y + c' = 0, les droites sont perpendiculaires si et seulement si aa' + bb' = 0, c'est-à-dire si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

En géométrie repérée de Première, tu travailles toujours dans un repère orthonormé du plan pour décrire droites, cercles et paraboles par des équations. Tu apprends à utiliser un vecteur normal, à calculer un projeté orthogonal et à reconnaître l'équation d'un cercle.

Droites et vecteurs

La droite d'équation $ax + by + c = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(-b ; a)$ .
Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
La droite d'équation $ax + by + c = 0$ admet $\vec{n}(a ; b)$ comme vecteur normal, et réciproquement.
$d : ax + by + c = 0$ et $d' : a'x + b'y + c' = 0$ sont parallèles si $ab' - ba' = 0$ et perpendiculaires si $aa' + bb' = 0$ .
Deux droites non parallèles sont sécantes : on trouve leur point commun en résolvant un système.

Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $d$ est le point de $d$ tel que $(AH)$ est perpendiculaire à $d$ .
Méthode : un vecteur directeur de $d$ est normal à $(AH)$ , ce qui donne l'équation de $(AH)$ .
On obtient $H$ en résolvant le système formé par les équations de $d$ et de $(AH)$ .
La distance du point $A$ à la droite $d$ est la longueur $AH$ .

Cercles et paraboles

Le cercle de centre $\Omega(x_\Omega ; y_\Omega)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 = r^2$ .
Pour reconnaître un cercle, on fait apparaître des carrés, par exemple $x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$ .
Si l'on obtient $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = k$ avec $k < 0$ , l'ensemble est vide ; avec $k = 0$ , c'est un point.
La parabole $y = ax^2 + bx + c$ a pour sommet $S(\alpha ; \beta)$ avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ , et pour axe de symétrie la droite $x = \alpha$ .

Exemple corrigé

L'équation $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$ est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donne son centre et son rayon.

On regroupe les termes : $(x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) - 3 = 0$ .
On complète les carrés : $x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$ et $y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4$ .
On obtient $(x+3)^2 + (y-2)^2 - 9 - 4 - 3 = 0$ , soit $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 16 = 4^2$ .
C'est le cercle de centre $\Omega(-3 ; 2)$ et de rayon $4$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur ou normal
Savoir reconnaître deux droites parallèles ou perpendiculaires
Savoir calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite
Savoir écrire l'équation d'un cercle de centre et de rayon donnés
Savoir déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation développée
Savoir déterminer le point d'intersection de deux droites

Questions fréquentes

Comment trouver une équation de droite avec un vecteur normal ?

Si $\vec{n}(a ; b)$ est normal à la droite, son équation est de la forme $ax + by + c = 0$ . Tu trouves $c$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées d'un point de la droite.

Quelle est l'équation d'un cercle ?

Le cercle de centre $\Omega(x_\Omega ; y_\Omega)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x - x_\Omega)^2 + (y - y_\Omega)^2 = r^2$ , car un point $M$ est sur le cercle si et seulement si $\Omega M^2 = r^2$ .

Comment savoir si deux droites sont perpendiculaires ?

Pour $d : ax + by + c = 0$ et $d' : a'x + b'y + c' = 0$ , les droites sont perpendiculaires si et seulement si $aa' + bb' = 0$ , c'est-à-dire si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.