Inéquations du premier degré (3ème)

Q: Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif. Par exemple -2x \leq 2 devient x \geq -1 après division par -2.

Q: Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation a en général un nombre fini de solutions, alors qu'une inéquation a souvent une infinité de solutions qui forment un ensemble de valeurs, comme tous les nombres x < \frac{6}{7}.

Q: Comment représenter les solutions d'une inéquation ?

Sur une droite graduée, tu hachures ou colories la partie qui contient les solutions. Tu mets un cercle plein si la borne est incluse (\leq, \geq) et un cercle vide si elle est exclue ( ).

Dans ce chapitre, tu vas apprendre comment les opérations agissent sur une inégalité et pourquoi le sens change quand on multiplie par un nombre négatif. Tu sauras ensuite résoudre une inéquation du premier degré et représenter l'ensemble de ses solutions sur une droite graduée.

Notations et comparaison

$x < 4$ : $x$ est strictement inférieur à $4$ ; $a \leq 3$ : $a$ est inférieur ou égal à $3$ .
Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de leur différence.
Si $a - b < 0$ alors $a < b$ ; si $a - b > 0$ alors $a > b$ .

Ordre et opérations

Ajouter ou soustraire un même nombre ne change pas le sens : si $a < b$ alors $a + c < b + c$ .
Multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens de l'inégalité.
Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens : si $a < b$ et $c < 0$ alors $ac > bc$ .
Exemple : si $1 < x$ , alors $-2 > -2x$ , donc $4 - 2x < 2$ .

Résolution d'inéquations

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue ; ses solutions forment un ensemble de valeurs.
On isole $x$ comme pour une équation, en surveillant le sens de l'inégalité.
Sur une droite graduée, un cercle vide indique une valeur exclue ( $<$ ou $>$ ), un cercle plein une valeur incluse ( $\leq$ ou $\geq$ ).
Exemple : $3x + 1 < 7 - 4x$ donne $7x < 6$ , soit $x < \frac{6}{7}$ .

Exemple corrigé

Résoudre l'inéquation $3(x - 2) \leq 5x - 4$ et décrire ses solutions.

On développe : $3x - 6 \leq 5x - 4$ .
On regroupe les termes en $x$ d'un côté : $3x - 5x \leq 6 - 4$ , soit $-2x \leq 2$ .
On divise par $-2$ , nombre négatif, donc le sens s'inverse : $x \geq -1$ .
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $-1$ (cercle plein en $-1$ sur la droite graduée).

Ce que tu sauras faire

Savoir lire et écrire les symboles d'inégalité
Savoir comparer deux nombres à l'aide de leur différence
Savoir utiliser les règles de l'ordre avec l'addition et la multiplication
Savoir résoudre une inéquation du premier degré
Savoir représenter les solutions sur une droite graduée

Questions fréquentes

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre négatif. Par exemple $-2x \leq 2$ devient $x \geq -1$ après division par $-2$ .

Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ?

Une équation a en général un nombre fini de solutions, alors qu'une inéquation a souvent une infinité de solutions qui forment un ensemble de valeurs, comme tous les nombres $x < \frac{6}{7}$ .

Comment représenter les solutions d'une inéquation ?

Sur une droite graduée, tu hachures ou colories la partie qui contient les solutions. Tu mets un cercle plein si la borne est incluse ( $\leq$ , $\geq$ ) et un cercle vide si elle est exclue ( $<$ , $>$ ).