Inéquations (Seconde)

Dans ce chapitre de Seconde, tu apprends à résoudre des inéquations du premier degré et à dresser des tableaux de signes. Tu sauras ensuite résoudre des inéquations produit et quotient, très utiles pour comparer deux tarifs ou étudier le signe d'une fonction.

Règles de résolution

• Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui vérifient l'inégalité.
• Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité.
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve le sens de l'inégalité.
• Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité.
• On écrit l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, par exemple $S = ]4\,;+\infty[$.

Tableaux de signes

• $ax + b$ s'annule en $x = -\dfrac{b}{a}$.
• Si $a > 0$, $ax + b$ est négatif puis positif ; si $a < 0$, il est positif puis négatif.
• Pour un produit $(ax + b)(cx + d)$, on étudie le signe de chaque facteur puis on applique la règle des signes.
• Exemple : $3x - 15$ est négatif sur $]-\infty\,;5[$, nul en 5 et positif sur $]5\,;+\infty[$.

Inéquations produit et quotient

• On ramène l'inéquation à la comparaison d'un produit ou d'un quotient avec 0.
• Dans un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite : on la marque d'une double barre dans le tableau.
• Une valeur interdite est toujours exclue des solutions, même si l'inégalité est large.
• On lit les solutions dans la dernière ligne du tableau de signes.

Exemple corrigé

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(5 - 10x)(x + 3) > 0$.

1. $5 - 10x = 0$ pour $x = \dfrac{1}{2}$ ; comme $a = -10 < 0$, ce facteur est positif puis négatif.
2. $x + 3 = 0$ pour $x = -3$ ; comme $a = 1 > 0$, ce facteur est négatif puis positif.
3. Règle des signes : le produit est négatif sur $]-\infty\,;-3[$, positif sur $]-3\,;\frac{1}{2}[$ et négatif sur $]\frac{1}{2}\,;+\infty[$.
4. On veut un produit strictement positif : $S = ]-3\,;\frac{1}{2}[$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir résoudre une inéquation du premier degré
• Savoir changer le sens de l'inégalité lors d'une division par un négatif
• Savoir représenter un ensemble de solutions sur une droite graduée
• Savoir dresser le tableau de signes de $ax + b$
• Savoir résoudre une inéquation produit à l'aide d'un tableau de signes
• Savoir résoudre une inéquation quotient en tenant compte de la valeur interdite

Questions fréquentes

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand tu multiplies ou divises les deux membres par un nombre strictement négatif. Par exemple, $-2x \geqslant 7$ donne $x \leqslant -\dfrac{7}{2}$.

Comment faire le tableau de signes de ax + b ?

Tu cherches la valeur qui annule l'expression, $x = -\dfrac{b}{a}$. Ensuite, si $a$ est positif, tu mets un moins avant cette valeur et un plus après ; si $a$ est négatif, c'est l'inverse.

Pourquoi la valeur interdite est-elle exclue dans une inéquation quotient ?

Parce qu'en cette valeur le dénominateur vaut 0 et le quotient n'existe pas. Même avec $\leqslant 0$, tu ouvres donc le crochet de ce côté : pour $\dfrac{4 - 8x}{5x - 3} \leqslant 0$, la valeur $\dfrac{3}{5}$ est interdite et on obtient $S = ]-\infty\,;\frac{1}{2}] \cup ]\frac{3}{5}\,;+\infty[$.