Limites de fonctions (Terminale)

Dans ce chapitre sur les fonctions, tu apprends à déterminer le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition, en l'infini comme en un point. Ces limites te permettent de trouver les asymptotes d'une courbe et de compléter les tableaux de variations demandés au bac.

Définitions

• $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ signifie que $f(x)$ dépasse tout réel $M$ dès que $x$ est assez grand.
• Si $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \ell$, la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe.
• Si $\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.
• Pour $f$ non définie en $a$, $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et sont égales.

Limites de référence

• $\lim_{x\to+\infty} x^n = +\infty$ et $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ pour $n \geqslant 1$.
• $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.
• $\lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$, $\lim_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x = 0$, $\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ et $\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$.
• Croissances comparées : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$.

Opérations et théorèmes

• Les formes indéterminées sont $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$.
• Pour lever une indétermination, on factorise par le terme prépondérant.
• Composée : si $\lim_{x\to a} f(x) = b$ et $\lim_{X\to b} g(X) = c$, alors $\lim_{x\to a} g\big(f(x)\big) = c$.
• Comparaison : si $f(x) \geqslant g(x)$ pour $x$ assez grand et $\lim g = +\infty$, alors $\lim f = +\infty$.
• Gendarmes : si $g \leqslant f \leqslant h$ et $\lim g = \lim h = \ell$, alors $\lim f = \ell$.

Exemple corrigé

Calculer $\lim_{x\to+\infty} \frac{5x^3-2x+7}{3x^3+x^2-4}$.

1. C'est une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.
2. On factorise par $x^3$ : $\frac{5x^3-2x+7}{3x^3+x^2-4} = \frac{5-\frac{2}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{3+\frac{1}{x}-\frac{4}{x^3}}$.
3. Les termes en $\frac{1}{x^k}$ tendent vers $0$ quand $x \to +\infty$.
4. Donc la limite vaut $\frac{5}{3}$ et la droite $y = \frac{5}{3}$ est asymptote horizontale en $+\infty$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir déterminer une limite par opérations.
• Savoir reconnaître et lever une forme indéterminée.
• Savoir calculer la limite d'une fonction composée.
• Savoir utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes.
• Savoir utiliser les croissances comparées.
• Savoir interpréter une limite en termes d'asymptote.

Questions fréquentes

Comment lever une forme indéterminée ?

Tu transformes l'expression, le plus souvent en factorisant par le terme qui domine. Pour une fonction rationnelle en l'infini, factorise numérateur et dénominateur par leur plus haut degré.

Comment trouver une asymptote verticale ?

Tu cherches les valeurs $a$ où la fonction n'est pas définie et tu calcules la limite à gauche et à droite. Si l'une vaut $\pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Qui gagne entre exponentielle, puissance et logarithme ?

En $+\infty$, on a la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll \mathrm{e}^x$ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme.