Logarithme népérien (Terminale)

Dans ce chapitre d'analyse, tu découvres la fonction $\ln$, réciproque de l'exponentielle, et ses règles de calcul qui transforment les produits en sommes. Tu sauras résoudre des équations et inéquations, trouver un seuil pour une suite géométrique et étudier des fonctions contenant des logarithmes.

Définition

• Pour $a > 0$, $\ln a$ est l'unique solution de l'équation $\mathrm{e}^x = a$.
• Pour $x > 0$ : $x = \mathrm{e}^y \iff y = \ln x$, et $\mathrm{e}^{\ln x} = x$ ; pour tout réel $x$, $\ln(\mathrm{e}^x) = x$.
• $\ln 1 = 0$ et $\ln \mathrm{e} = 1$ ; les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.
• Logarithme décimal : $\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}$.

Propriétés algébriques

• Relation fonctionnelle : $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ pour $x, y > 0$.
• $\ln\frac{1}{x} = -\ln x$ et $\ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y$.
• $\ln\sqrt{x} = \frac{1}{2}\ln x$ et $\ln(x^n) = n\ln x$ pour $n$ entier relatif.
• $\ln x = \ln y \iff x = y$ et $\ln x < \ln y \iff x < y$.

Étude de la fonction

• $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ : $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
• $(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ : $\ln$ est concave.
• $\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$.
• Si $u > 0$ est dérivable, $\big(\ln u\big)' = \frac{u'}{u}$.
• Croissances comparées : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et $\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$.

Exemple corrigé

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $0{,}8^n < 0{,}01$.

1. La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc $0{,}8^n < 0{,}01 \iff n\ln(0{,}8) < \ln(0{,}01)$.
2. Comme $\ln(0{,}8) < 0$, en divisant le sens change : $n > \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)}$.
3. Or $\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)} \approx 20{,}64$.
4. Le plus petit entier qui convient est $n = 21$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir utiliser les propriétés algébriques du logarithme pour simplifier.
• Savoir résoudre une équation ou une inéquation avec $\ln$ ou $\exp$.
• Savoir déterminer un seuil à l'aide du logarithme.
• Savoir dériver une fonction du type $\ln(u)$.
• Savoir calculer des limites avec les croissances comparées.
• Savoir étudier les variations et la convexité d'une fonction avec $\ln$.

Questions fréquentes

Comment résoudre ln(x) = 3 ?

Sur $]0;+\infty[$, $\ln x = 3 \iff x = \mathrm{e}^3$, soit environ $20{,}09$. Pense toujours à vérifier que la solution est dans l'ensemble de définition.

Quelle est la dérivée de ln(u) ?

Si $u$ est dérivable et strictement positive, $\big(\ln u\big)' = \frac{u'}{u}$. Par exemple, la dérivée de $\ln(3x-x^2)$ sur $]0;3[$ est $\frac{3-2x}{3x-x^2}$.

Pourquoi ln(x) n'est défini que pour x > 0 ?

Parce que $\ln x$ est la solution de $\mathrm{e}^y = x$, et l'exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Pour $x \leqslant 0$, cette équation n'a pas de solution.