Matrices et graphes (Terminale)

Q: Pourquoi le produit de deux matrices n'est-il pas commutatif ?

Le coefficient (i\,;\,j) de AB combine la ligne i de A et la colonne j de B, alors que celui de BA combine la ligne i de B et la colonne j de A : les calculs sont différents. Par exemple, avec A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} et B=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, on trouve AB=\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} mais BA=\begin{pmatrix} 14 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Q: Comment savoir si une matrice carrée est inversible ?

Pour une matrice d'ordre 2, calcule ad-bc : elle est inversible si et seulement si ce nombre est non nul. Pour une matrice d'ordre 3, utilise la calculatrice, ou vérifie qu'une matrice B proposée vérifie AB=I_3 : pour des matrices carrées, cette seule égalité suffit.

Q: Comment compter les chemins de longueur n dans un graphe ?

Écris la matrice d'adjacence A du graphe, puis calcule A^n (à la calculatrice). Le coefficient situé à la ligne i et à la colonne j de A^n est le nombre de chemins de longueur n allant du sommet i au sommet j, passages répétés compris.

Ce chapitre de Terminale maths expertes introduit les matrices, des tableaux de nombres sur lesquels on sait additionner, multiplier, inverser et calculer des puissances. Tu les utilises pour résoudre des systèmes linéaires, décrire des rotations, symétries et homothéties du plan, puis pour étudier des graphes : avec la matrice d'adjacence, le coefficient $(i\,;\,j)$ de $A^n$ compte les chemins de longueur $n$ .

Définitions

Une matrice de taille $n \times p$ est un tableau de réels à $n$ lignes et $p$ colonnes ; elle est carrée d'ordre $n$ si $n=p$ .
La matrice identité $I_n$ a des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs ; une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB=BA=I_n$ , on note alors $B=A^{-1}$ .
Un graphe est formé de sommets reliés par des arêtes ; le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont il est une extrémité, et le graphe est connexe si deux sommets quelconques sont reliés par une chaîne.
La matrice d'adjacence d'un graphe à $n$ sommets est la matrice carrée dont le coefficient $a_{ij}$ est le nombre d'arêtes (ou d'arcs, dans un graphe orienté) allant de $i$ à $j$ .

Propriétés

Le produit matriciel est associatif et distributif, mais pas commutatif : en général $AB \neq BA$ .
Une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc \neq 0$ .
Si $A$ est inversible, le système $AX=B$ admet une unique solution $X=A^{-1}B$ .
La transformation « $f$ puis $g$ » a pour matrice le produit $GF$ des matrices de $g$ et de $f$ .
Le coefficient $(i\,;\,j)$ de $A^n$ est le nombre de chemins de longueur $n$ allant du sommet $i$ au sommet $j$ (démonstration par récurrence).

Formules à retenir

Produit : le coefficient $(i\,;\,j)$ de $AB$ est $c_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}$ (ligne $i$ de $A$ fois colonne $j$ de $B$ ).
Inverse d'ordre 2 : $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .
Matrice de la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ : $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ .
Si $A=PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^n=PD^nP^{-1}$ , et $D^n$ s'obtient en élevant les coefficients diagonaux à la puissance $n$ .
Dans un graphe, la somme des degrés est égale au double du nombre d'arêtes.

Exemple corrigé

Résoudre le système $3x+5y=4$ et $x+2y=1$ à l'aide d'une matrice inverse.

Le système s'écrit $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
On calcule $ad-bc=3\times 2-5\times 1=1 \neq 0$ : la matrice $A$ est inversible.
Par la formule d'ordre 2, $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ .
Donc $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} 2\times 4-5\times 1 \\ -4+3\times 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ .
L'unique solution est $(x\,;\,y)=(3\,;\,-1)$ ; vérification : $9-5=4$ et $3-2=1$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir calculer la somme et le produit de deux matrices, en respectant l'ordre des facteurs
Savoir déterminer l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2 avec $ad-bc$ , ou vérifier un inverse d'ordre 3
Savoir résoudre un système linéaire sous la forme $AX=B$ avec $X=A^{-1}B$
Savoir calculer les puissances d'une matrice carrée et démontrer une formule de $A^n$ par récurrence
Savoir écrire la matrice d'une rotation, d'une symétrie ou d'une homothétie de centre $O$
Savoir modéliser une situation par un graphe et compter des chemins de longueur $n$ avec la matrice d'adjacence

Questions fréquentes

Pourquoi le produit de deux matrices n'est-il pas commutatif ?

Le coefficient $(i\,;\,j)$ de $AB$ combine la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ , alors que celui de $BA$ combine la ligne $i$ de $B$ et la colonne $j$ de $A$ : les calculs sont différents. Par exemple, avec $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ , on trouve $AB=\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$ mais $BA=\begin{pmatrix} 14 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Comment savoir si une matrice carrée est inversible ?

Pour une matrice d'ordre 2, calcule $ad-bc$ : elle est inversible si et seulement si ce nombre est non nul. Pour une matrice d'ordre 3, utilise la calculatrice, ou vérifie qu'une matrice $B$ proposée vérifie $AB=I_3$ : pour des matrices carrées, cette seule égalité suffit.

Comment compter les chemins de longueur $n$ dans un graphe ?

Écris la matrice d'adjacence $A$ du graphe, puis calcule $A^n$ (à la calculatrice). Le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de $A^n$ est le nombre de chemins de longueur $n$ allant du sommet $i$ au sommet $j$ , passages répétés compris.