Nombres complexes : forme algébrique et équations polynomiales (Terminale)

Q: Peut-on écrire \sqrt{-1}=\mathrm{i} ?

Non : le symbole \sqrt{\;} est réservé aux réels positifs. On écrit \mathrm{i}^2=-1 ou -36=(6\mathrm{i})^2, sinon on aboutit à des erreurs comme \sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=1, alors que \mathrm{i}\times\mathrm{i}=-1.

Q: Comment écrire un quotient de complexes sous forme algébrique ?

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient le réel a^2+b^2. Par exemple \dfrac{1}{3+4\mathrm{i}}=\dfrac{3-4\mathrm{i}}{25}.

Q: Comment résoudre une équation contenant à la fois z et \overline{z} ?

On pose z=x+\mathrm{i}y avec x,y réels, on développe, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations en x et y.

Ce chapitre ouvre le thème Nombres complexes des maths expertes. Tu y découvres l'ensemble $\mathbb{C}$ , dans lequel $\mathrm{i}^2=-1$ , et tu apprends à calculer avec la forme algébrique, le conjugué et l'inverse. Tu résous ensuite toutes les équations du second degré à coefficients réels, puis des équations polynomiales de degré supérieur grâce à la factorisation par $z-\alpha$ .

Définitions

$\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ et un nombre $\mathrm{i}$ tel que $\mathrm{i}^2=-1$ ; tout $z\in\mathbb{C}$ s'écrit de façon unique $z=a+\mathrm{i}b$ avec $a,b$ réels (forme algébrique).
$a=\mathrm{Re}(z)$ est la partie réelle et $b=\mathrm{Im}(z)$ la partie imaginaire (un réel) ; $z$ est imaginaire pur si $a=0$ .
Le conjugué de $z=a+\mathrm{i}b$ est $\overline{z}=a-\mathrm{i}b$ .
Un polynôme de degré $n$ est $P(z)=\sum_{k=0}^{n}a_kz^k$ avec $a_n\neq 0$ ; $\alpha$ est racine de $P$ si $P(\alpha)=0$ .

Propriétés

Deux complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ , $\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}$ , $\overline{z^n}=\overline{z}^{\,n}$ et $\overline{1/z}=1/\overline{z}$ pour $z\neq 0$ .
$z$ est réel si et seulement si $\overline{z}=z$ ; imaginaire pur si et seulement si $\overline{z}=-z$ .
Si $\Delta=b^2-4ac<0$ ( $a,b,c$ réels), l'équation $az^2+bz+c=0$ a deux solutions complexes conjuguées.
Si $P$ est de degré $n\geqslant 1$ et $P(\alpha)=0$ , alors $P(z)=(z-\alpha)Q(z)$ avec $Q$ de degré $n-1$ ; un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.
Si $P$ est à coefficients réels et $\alpha$ est racine, alors $\overline{\alpha}$ est aussi racine.

Formules à retenir

$(a+\mathrm{i}b)(a'+\mathrm{i}b')=(aa'-bb')+\mathrm{i}(ab'+a'b)$ et $z\overline{z}=a^2+b^2$ .
$\dfrac{1}{a+\mathrm{i}b}=\dfrac{a-\mathrm{i}b}{a^2+b^2}$ pour $a+\mathrm{i}b\neq 0$ .
$(z+w)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z^kw^{n-k}$ .
Si $\Delta<0$ : $z_{1,2}=\dfrac{-b\pm\mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}$ , avec $z_1+z_2=-\dfrac{b}{a}$ et $z_1z_2=\dfrac{c}{a}$ .
$z^n-a^n=(z-a)\left(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-1}\right)$ .

Exemple corrigé

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3-3z^2+7z-5=0$ .

On remarque que $1-3+7-5=0$ : $1$ est racine du polynôme $P(z)=z^3-3z^2+7z-5$ .
On cherche $P(z)=(z-1)(bz^2+cz+d)=bz^3+(c-b)z^2+(d-c)z-d$ ; par identification $b=1$ , $c=-2$ , $d=5$ .
Donc $P(z)=(z-1)(z^2-2z+5)$ .
Pour $z^2-2z+5=0$ : $\Delta=4-20=-16<0$ , d'où $z=\dfrac{2\pm 4\mathrm{i}}{2}=1\pm 2\mathrm{i}$ .
Par le produit nul, les solutions sont $1$ , $1-2\mathrm{i}$ et $1+2\mathrm{i}$ (au plus 3 solutions pour un degré 3).

Ce que tu sauras faire

Savoir effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes (somme, produit, puissances de $\mathrm{i}$ , quotient)
Savoir utiliser la formule du binôme dans $\mathbb{C}$ pour développer $(z+w)^n$
Savoir utiliser les propriétés du conjugué pour montrer qu'un nombre est réel ou imaginaire pur
Savoir résoudre une équation $az=b$ et une équation simple faisant intervenir $z$ et $\overline{z}$
Savoir résoudre dans $\mathbb{C}$ une équation du second degré à coefficients réels
Savoir factoriser un polynôme dont une racine est connue et résoudre une équation de degré 3

Questions fréquentes

Peut-on écrire $\sqrt{-1}=\mathrm{i}$ ?

Non : le symbole $\sqrt{\;}$ est réservé aux réels positifs. On écrit $\mathrm{i}^2=-1$ ou $-36=(6\mathrm{i})^2$ , sinon on aboutit à des erreurs comme $\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=1$ , alors que $\mathrm{i}\times\mathrm{i}=-1$ .

Comment écrire un quotient de complexes sous forme algébrique ?

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient le réel $a^2+b^2$ . Par exemple $\dfrac{1}{3+4\mathrm{i}}=\dfrac{3-4\mathrm{i}}{25}$ .

Comment résoudre une équation contenant à la fois $z$ et $\overline{z}$ ?

On pose $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x,y$ réels, on développe, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations en $x$ et $y$ .