Nombres complexes : géométrie et racines de l'unité (Terminale)

Q: Comment montrer que trois points sont alignés avec les nombres complexes ?

On calcule le quotient \dfrac{c-a}{b-a} (avec A \neq B). Les points A, B, C sont alignés si et seulement si ce quotient est un nombre réel, car son argument mesure l'angle (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}).

Q: Combien y a-t-il de racines n-ièmes de l'unité ?

Il y en a exactement n : ce sont les nombres \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi}{n}} pour k allant de 0 à n-1. Elles sont toutes de module 1 et forment les sommets d'un polygone régulier à n côtés.

Ce chapitre de maths expertes montre comment les nombres complexes transforment des problèmes de géométrie plane en calculs. Le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$ donne à la fois un rapport de longueurs et un angle orienté. Les racines $n$ -ièmes de l'unité décrivent les sommets des polygones réguliers et permettent même de calculer $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ .

Définitions

Pour deux points $A(a)$ et $B(b)$ : $AB = |b-a|$ et $\arg(b-a) = (\vec u, \overrightarrow{AB})\;[2\pi]$ .
Une racine $n$ -ième de l'unité est un complexe $z$ tel que $z^n = 1$ ; on note $\mathbb{U}_n$ leur ensemble.
On pose $\omega_n = \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{n}}$ et $j = \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}} = -\frac12 + \mathrm{i}\frac{\sqrt3}{2}$ .
Un polygone régulier à $n$ côtés a tous ses sommets sur un cercle, deux sommets consécutifs étant vus du centre sous un angle de $\frac{2\pi}{n}$ .

Propriétés

Si $A \neq B$ et $A \neq C$ : $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right| = \dfrac{AC}{AB}$ et $\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\;[2\pi]$ .
$A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{c-a}{b-a}$ est réel ; $(AB) \perp (AC)$ si et seulement si ce quotient est imaginaire pur.
$\mathbb{U}_n$ contient exactement $n$ éléments : $\mathbb{U}_n = \left\{\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi}{n}},\ 0 \leqslant k \leqslant n-1\right\}$ .
Les images des éléments de $\mathbb{U}_n$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.
La somme des racines $n$ -ièmes de l'unité est nulle : $1 + \omega_n + \cdots + \omega_n^{n-1} = 0$ .

Formules à retenir

Triangle équilatéral : $\dfrac{c-a}{b-a} = \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\pi/3}$ ; rectangle isocèle en $A$ : $\dfrac{c-a}{b-a} = \pm\mathrm{i}$ .
$|z-a| = r$ : cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ; $|z-a| = |z-b|$ : médiatrice de $[AB]$ .
$\mathbb{U}_2 = \{1;-1\}$ , $\mathbb{U}_3 = \{1; j; j^2\}$ avec $1 + j + j^2 = 0$ , $\mathbb{U}_4 = \{1;\mathrm{i};-1;-\mathrm{i}\}$ .
Solutions de $z^n = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ ( $r>0$ ) : $z_k = r^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}$ , $0 \leqslant k \leqslant n-1$ .
$\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ .

Exemple corrigé

Soient $A(1+\mathrm{i})$ , $B(3+2\mathrm{i})$ et $C(-1+5\mathrm{i})$ . Déterminer la nature du triangle $ABC$ .

On calcule $c - a = -2 + 4\mathrm{i}$ et $b - a = 2 + \mathrm{i}$ .
$\dfrac{c-a}{b-a} = \dfrac{(-2+4\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})} = \dfrac{-4+2\mathrm{i}+8\mathrm{i}+4}{5} = \dfrac{10\mathrm{i}}{5} = 2\mathrm{i}$ .
Le module donne $\dfrac{AC}{AB} = |2\mathrm{i}| = 2$ , donc $AC = 2AB$ .
Un argument donne $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg(2\mathrm{i}) = \dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ .
Conclusion : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (et non isocèle, car $AC \neq AB$ ).

Ce que tu sauras faire

Savoir interpréter le module et un argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ comme un rapport de longueurs et un angle orienté
Savoir démontrer un alignement ou une orthogonalité avec les nombres complexes
Savoir reconnaître la nature d'un triangle (isocèle, rectangle, équilatéral)
Savoir déterminer un ensemble de points (cercle, médiatrice, droite) défini par une condition sur $z$
Savoir déterminer et représenter l'ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$ -ièmes de l'unité
Savoir résoudre une équation $z^n = a$ et utiliser les racines de l'unité dans un polygone régulier

Questions fréquentes

Comment montrer que trois points sont alignés avec les nombres complexes ?

On calcule le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$ (avec $A \neq B$ ). Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si ce quotient est un nombre réel, car son argument mesure l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ .

Combien y a-t-il de racines $n$ -ièmes de l'unité ?

Il y en a exactement $n$ : ce sont les nombres $\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}k\pi}{n}}$ pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ . Elles sont toutes de module 1 et forment les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés.

Pourquoi la somme des racines $n$ -ièmes de l'unité est-elle nulle ?

C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\omega_n = \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{n}} \neq 1$ : elle vaut $\dfrac{1-\omega_n^n}{1-\omega_n} = 0$ puisque $\omega_n^n = 1$ . Géométriquement, le centre du polygone régulier est l'isobarycentre de ses sommets.