Nombres complexes : module, argument et forme exponentielle (Terminale)

Q: Quelle est la différence entre forme trigonométrique et forme exponentielle ?

Ce sont deux écritures du même nombre : r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta} avec r = |z| > 0. La forme exponentielle est plus compacte et rend les produits et les puissances immédiats : on multiplie les modules et on ajoute les arguments.

Ce chapitre donne aux nombres complexes une interprétation géométrique : un complexe non nul est entièrement décrit par une distance, son module, et un angle, son argument. Tu y découvres l'exponentielle imaginaire $e^{i\theta}$ , qui transforme les produits et les puissances en calculs très simples, puis les formules de Moivre et d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques.

Définitions

Dans un repère orthonormé direct, le point $M(a\,;\,b)$ est l'image de $z = a+ib$ et $z$ est l'affixe de $M$ ; l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$ .
Le module de $z = a+ib$ est $|z| = \sqrt{a^2+b^2} = OM$ ; plus généralement $AB = |z_B - z_A|$ .
Un argument de $z \neq 0$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ , définie à $2\pi$ près.
Pour tout réel $\theta$ , $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ; tout $z \neq 0$ s'écrit $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg z$ .
$\mathbb{U}$ est l'ensemble des complexes de module 1 : ses images forment le cercle trigonométrique.

Propriétés

Pour tout complexe $z$ : $|z|^2 = z\,\overline{z}$ .
$|zz'| = |z|\,|z'|$ , $|z^n| = |z|^n$ et, pour $z \neq 0$ , $\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|}$ .
$\mathbb{U}$ est stable par produit et par passage à l'inverse ; si $z \in \mathbb{U}$ , alors $\frac{1}{z} = \overline{z}$ .
Relation fonctionnelle : $e^{i\theta}\,e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}$ , donc, pour $z$ et $z'$ non nuls, $\arg(zz') = \arg z + \arg z'$ $[2\pi]$ .
Pour aller plus loin, inégalité triangulaire : $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$ .

Formules à retenir

$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ et $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ .
$\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin(2a) = 2\sin a\cos a$ .
$z z' = r r' e^{i(\theta+\theta')}$ , $\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} e^{i(\theta-\theta')}$ et $z^n = r^n e^{in\theta}$ .
Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ .
Formules d'Euler : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ .

Exemple corrigé

Calculer $(1+i)^{10}$ en utilisant la forme exponentielle.

Module : $|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ .
Argument : $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , donc $\theta = \frac{\pi}{4}$ et $1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ .
Puissance : $(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\,e^{i\,10\pi/4} = 32\,e^{i\,5\pi/2}$ .
Comme $\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi$ , on obtient $(1+i)^{10} = 32\,e^{i\pi/2} = 32i$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir représenter un nombre complexe par un point et déterminer l'affixe d'un point ou d'un vecteur
Savoir calculer le module d'un complexe, d'un produit, d'un quotient ou d'une puissance sans développer
Savoir déterminer un argument et passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle
Savoir choisir la forme adaptée pour calculer un produit, un quotient ou une puissance de complexes
Savoir utiliser les formules d'addition et de duplication pour obtenir des valeurs exactes
Savoir utiliser les formules de Moivre et d'Euler pour exprimer $\cos(n\theta)$ ou linéariser $\cos^n\theta$

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre forme trigonométrique et forme exponentielle ?

Ce sont deux écritures du même nombre : $r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$ . La forme exponentielle est plus compacte et rend les produits et les puissances immédiats : on multiplie les modules et on ajoute les arguments.

Pourquoi un nombre complexe a-t-il plusieurs arguments ?

Un argument est une mesure d'angle orienté, définie à un multiple de $2\pi$ près : si $\theta$ est un argument de $z$ , alors $\theta + 2k\pi$ ( $k$ entier) en est un aussi. Le nombre $0$ , lui, n'a pas d'argument.

À quoi servent les formules d'Euler ?

Elles permettent de linéariser des puissances de cosinus ou de sinus, par exemple $\cos^3\theta = \frac{1}{4}\cos(3\theta) + \frac{3}{4}\cos\theta$ , ce qui sert notamment à calculer des primitives et des intégrales.