Notion de fonction (3ème)

Q: Quelle est la différence entre image et antécédent ?

Si f(a) = b, b est l'image de a : c'est le résultat. a est un antécédent de b : c'est le nombre de départ. Par exemple, si f(3) = -1, l'image de 3 est -1.

Q: Comment calculer un antécédent ?

Tu cherches x tel que f(x) soit égal au nombre donné, donc tu résous une équation. Pour g(x) = 3x - 2 et l'antécédent de 4, tu résous 3x - 2 = 4 et tu trouves x = 2.

Dans ce chapitre, tu vas découvrir ce qu'est une fonction et comment la noter, puis apprendre à calculer et lire des images et des antécédents. Tu sauras passer d'un programme de calcul à une expression, remplir un tableau de valeurs et exploiter une courbe représentative.

Notations

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un unique nombre noté $f(x)$ .
On écrit $f : x \mapsto 6x$ ou $f(x) = 6x$ , qui se lit « $f$ de $x$ ».
Un programme de calcul peut se traduire par une expression, par exemple $f(x) = 3(x + 5) - 2 = 3x + 13$ .

Image et antécédent

Si $f(a) = b$ , alors $b$ est l'image de $a$ et $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ .
Pour calculer une image, on remplace $x$ : si $h(x) = 2x + 5$ , $h(4) = 13$ .
Pour trouver un antécédent, on résout une équation : $3x - 2 = 4$ donne $x = 2$ .
Un nombre a une unique image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun : par $x \mapsto x^2$ , $4$ a deux antécédents, $2$ et $-2$ .

Représentation graphique

La courbe de $f$ est formée des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ .
Un point $M(x_M\,;\,y_M)$ appartient à la courbe si et seulement si $y_M = f(x_M)$ .
Pour lire une image, on part de l'axe des abscisses, on rejoint la courbe et on lit l'ordonnée.
Pour lire des antécédents, on part de l'axe des ordonnées, on rejoint la courbe et on lit les abscisses.

Exemple corrigé

Programme : choisir un nombre, ajouter $5$ , multiplier par $3$ , soustraire $2$ . Exprime le résultat en fonction de $x$ puis complète le tableau pour $x = 2$ , $4$ et $7$ .

Avec $x$ au départ : $3(x + 5) - 2 = 3x + 15 - 2 = 3x + 13$ , donc $f(x) = 3x + 13$ .
$f(2) = 3 \times 2 + 13 = 19$ .
$f(4) = 3 \times 4 + 13 = 25$ .
$f(7) = 3 \times 7 + 13 = 34$ : le tableau contient $19$ , $25$ et $34$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir utiliser les notations $f(x)$ et $x \mapsto f(x)$
Savoir calculer l'image d'un nombre
Savoir déterminer un antécédent par le calcul
Savoir lire une image et des antécédents dans un tableau ou sur un graphique
Savoir traduire un programme de calcul par une fonction

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre image et antécédent ?

Si $f(a) = b$ , $b$ est l'image de $a$ : c'est le résultat. $a$ est un antécédent de $b$ : c'est le nombre de départ. Par exemple, si $f(3) = -1$ , l'image de $3$ est $-1$ .

Comment calculer un antécédent ?

Tu cherches $x$ tel que $f(x)$ soit égal au nombre donné, donc tu résous une équation. Pour $g(x) = 3x - 2$ et l'antécédent de $4$ , tu résous $3x - 2 = 4$ et tu trouves $x = 2$ .

Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents ?

Oui. Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun. Par la fonction $x \mapsto x^2$ , $4$ a deux antécédents, $2$ et $-2$ , et $-1$ n'en a aucun.