Notion de fonction (4ème)

Dans ce chapitre de 4ème, tu découvres ce qu'est une fonction, le vocabulaire image et antécédent, et trois façons de la décrire : une formule, un tableau de valeurs ou une courbe. Les fonctions servent à modéliser une grandeur qui dépend d'une autre, comme un prix selon une quantité.

Définitions

• Une fonction associe à chaque nombre $x$ un unique nombre noté $f(x)$ ; on écrit aussi $f : x \longmapsto f(x)$.
• Si $f(x) = y$, alors $y$ est l'image de $x$ et $x$ est un antécédent de $y$ par $f$.
• Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun.
• $f(x)$ se lit « $f$ de $x$ » : ce n'est pas un produit.

Fonction définie par une formule

• Pour calculer une image, on remplace $x$ par le nombre : si $h(x) = x^2 - 4x + 3$, alors $h(2) = 4 - 8 + 3 = -1$.
• Pour trouver un antécédent de $b$, on résout l'équation $f(x) = b$.
• Exemple : avec $f(x) = 3x + 2$, l'équation $3x + 2 = 17$ donne $x = 5$.
• Un tableau de valeurs regroupe des valeurs de $x$ et leurs images $f(x)$.

Représentation graphique

• La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$.
• Pour lire l'image de $a$, on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on rejoint la courbe et on lit l'ordonnée.
• Pour lire les antécédents de $b$, on part de $b$ sur l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale et on lit les abscisses des points d'intersection.
• Pour tracer une courbe, on calcule un tableau de valeurs, on place les points puis on les relie par une courbe lisse.

Exemple corrigé

Soit $f(x) = 5x - 7$. Calcule $f(-2)$ puis trouve l'antécédent de $18$ par $f$.

1. $f(-2) = 5 \times (-2) - 7 = -10 - 7 = -17$.
2. Pour l'antécédent de $18$, on résout $5x - 7 = 18$.
3. On obtient $5x = 25$, donc $x = 5$.
4. Vérification : $f(5) = 25 - 7 = 18$. L'antécédent de $18$ par $f$ est $5$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir utiliser la notation $f(x)$ et le vocabulaire image et antécédent
• Savoir calculer l'image d'un nombre à partir d'une formule
• Savoir déterminer un antécédent en résolvant une équation
• Savoir compléter et lire un tableau de valeurs
• Savoir lire graphiquement des images et des antécédents
• Savoir tracer la courbe d'une fonction à partir d'un tableau de valeurs

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre image et antécédent ?

Si $f(x) = y$, $y$ est l'image de $x$ et $x$ est un antécédent de $y$. L'image s'obtient en calculant $f(x)$, l'antécédent en cherchant le nombre de départ.

Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents ?

Oui. Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun. Par exemple, si $p(0) = 5$ et $p(4) = 5$, alors $0$ et $4$ sont deux antécédents de $5$.

Comment lire une image sur un graphique ?

Tu pars du nombre sur l'axe des abscisses, tu montes ou descends verticalement jusqu'à la courbe, puis tu lis la valeur correspondante sur l'axe des ordonnées.