Orthogonalité et distances dans l'espace (Terminale)

Dans ce chapitre de géométrie, tu étends le produit scalaire à l'espace pour traduire l'orthogonalité de vecteurs, de droites et de plans. Tu apprends à écrire l'équation cartésienne d'un plan grâce à un vecteur normal et à calculer un projeté orthogonal ou une distance, des questions incontournables au bac.

Produit scalaire dans l'espace

• $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$, et il vaut $0$ si l'un des vecteurs est nul.
• Dans un repère orthonormé : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
• $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.
• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.

Vecteur normal et plans

• $\vec{n}$ non nul est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
• Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d = 0$.
• Une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan.
• Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = 0$, et parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
• Deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes ; perpendiculaires signifie orthogonales et sécantes.

Projeté orthogonal et distance

• Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur un plan est le point du plan tel que $(AH)$ soit perpendiculaire au plan.
• $H$ est le point du plan le plus proche de $A$, et la distance de $A$ au plan vaut $AH$.
• Méthode : écrire la droite passant par $A$ dirigée par $\vec{n}$, l'injecter dans l'équation du plan pour trouver $t$, puis en déduire $H$.
• Le plan médiateur de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et admet $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur normal.

Exemple corrigé

Déterminer une équation du plan médiateur de $[AB]$ avec $A(1;3;-1)$ et $B(5;1;3)$.

1. Le milieu de $[AB]$ est $I(3;2;1)$.
2. $\overrightarrow{AB}(4;-2;4)$, donc $\vec{n}(2;-1;2)$ est un vecteur normal.
3. L'équation est de la forme $2x - y + 2z + d = 0$.
4. $I$ appartient au plan : $6 - 2 + 2 + d = 0$, donc $d = -6$ et le plan a pour équation $2x - y + 2z - 6 = 0$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace.
• Savoir démontrer que deux vecteurs ou deux droites sont orthogonaux.
• Savoir démontrer qu'un vecteur est normal à un plan.
• Savoir déterminer une équation cartésienne de plan.
• Savoir déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan ou une droite.
• Savoir calculer la distance d'un point à un plan.

Questions fréquentes

Comment trouver l'équation cartésienne d'un plan ?

Tu identifies un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$, tu écris $ax+by+cz+d = 0$, puis tu remplaces par les coordonnées d'un point du plan pour trouver $d$.

Comment montrer qu'un vecteur est normal à un plan ?

Tu vérifies qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, c'est-à-dire que les deux produits scalaires sont nuls.

Comment calculer le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

Tu écris une représentation paramétrique de la droite passant par le point et dirigée par un vecteur normal du plan. Tu remplaces dans l'équation du plan pour trouver le paramètre, ce qui donne les coordonnées du projeté.