Parallélogrammes (5ème)

Dans ce chapitre, tu étudies le parallélogramme, un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Tu apprends ses propriétés sur les côtés, les angles et les diagonales, à le construire de trois façons et à le reconnaître, ainsi que ses cas particuliers : rectangle, losange et carré.

Définition et propriétés

• Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
• Ses côtés opposés ont la même longueur.
• Ses angles opposés ont la même mesure et deux angles consécutifs sont supplémentaires (somme $180^\circ$).
• Ses diagonales se coupent en leur milieu, qui est son centre de symétrie.

Reconnaître un parallélogramme

• Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.

Parallélogrammes particuliers

• Un rectangle a quatre angles droits ; ses diagonales ont la même longueur.
• Un losange a quatre côtés de même longueur ; ses diagonales sont perpendiculaires.
• Un carré est à la fois un rectangle et un losange : ses diagonales ont la même longueur et sont perpendiculaires.
• Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle ; s'il a des diagonales perpendiculaires, c'est un losange.

Exemple corrigé

$EFGH$ est un parallélogramme avec $\widehat{HEF} = 65^\circ$. Calcule les autres angles.

1. Les angles opposés ont la même mesure : $\widehat{FGH} = \widehat{HEF} = 65^\circ$.
2. La somme des angles d'un quadrilatère vaut $360^\circ$ : il reste $360^\circ - 2 \times 65^\circ = 230^\circ$.
3. Les deux autres angles sont égaux : $\widehat{EHG} = \widehat{EFG} = 230^\circ \div 2 = 115^\circ$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître un parallélogramme à partir de sa définition.
• Savoir utiliser les propriétés des côtés, des angles et des diagonales.
• Savoir construire un parallélogramme avec les parallèles, les diagonales ou le compas.
• Savoir démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme avec une propriété réciproque.
• Savoir reconnaître un rectangle, un losange et un carré.

Questions fréquentes

Comment prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?

Tu peux montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu, que ses côtés opposés ont la même longueur, ou que deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Les diagonales d'un parallélogramme ont-elles la même longueur ?

Pas forcément. Elles se coupent toujours en leur milieu, mais elles n'ont la même longueur que si le parallélogramme est un rectangle.

Un carré est-il un parallélogramme ?

Oui. Le carré est un parallélogramme particulier qui est à la fois un rectangle et un losange, donc il cumule toutes leurs propriétés.