Primitives et équations différentielles (Terminale)

Dans ce chapitre d'analyse, tu apprends à remonter de la dérivée vers la fonction en cherchant des primitives, puis à résoudre tes premières équations différentielles. Ces outils modélisent des phénomènes réels comme la désintégration radioactive ou le refroidissement d'un objet.

Primitives

• $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable et $F' = f$.
• Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : ce sont les $F + C$, $C \in \mathbb{R}$.
• Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
• Primitives usuelles : $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n \neq -1$, $\frac{1}{x} \to \ln x$ sur $]0;+\infty[$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x}$, $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$, $\cos x \to \sin x$, $\sin x \to -\cos x$.
• Composées : $u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$, $\frac{u'}{u} \to \ln u$ avec $u > 0$, $u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$, $\frac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u}$.

Équations différentielles

• Une équation différentielle a pour inconnue une fonction et fait intervenir ses dérivées.
• Les solutions de $y' = f$ sont les primitives de $f$.
• Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$.
• Pour $a \neq 0$, les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}$.
• Si $\varphi$ est une solution particulière de $y' = ay + f$, les solutions sont $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax} + \varphi(x)$.

Méthode

• Mettre l'équation sous la forme $y' = ay + b$.
• Écrire la solution générale avec la constante $C$.
• Utiliser la condition initiale pour déterminer $C$ : il existe une unique solution vérifiant $y(0) = y_0$.

Exemple corrigé

Résoudre $3y' - 2y = 8$ et trouver la solution $f$ telle que $f(0) = 1$.

1. On écrit $y' = \frac{2}{3}y + \frac{8}{3}$, donc $a = \frac{2}{3}$ et $b = \frac{8}{3}$.
2. La solution particulière constante est $-\frac{b}{a} = -4$.
3. Les solutions sont $x \mapsto C\mathrm{e}^{\frac{2}{3}x} - 4$, $C \in \mathbb{R}$.
4. $f(0) = C - 4 = 1$ donne $C = 5$, donc $f(x) = 5\mathrm{e}^{\frac{2}{3}x} - 4$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre.
• Savoir déterminer une primitive à l'aide des formules usuelles et de la linéarité.
• Savoir reconnaître la forme d'une composée pour trouver une primitive.
• Savoir déterminer la primitive qui prend une valeur donnée en un point.
• Savoir résoudre une équation différentielle $y' = ay$ ou $y' = ay + b$.
• Savoir utiliser une équation différentielle pour modéliser une évolution.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre dérivée et primitive ?

Dériver $F$ donne $f$ ; chercher une primitive de $f$ revient à faire le chemin inverse. Une fonction a une seule dérivée mais une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.

Comment résoudre y' = ay + b ?

Tu écris la solution générale $y = C\mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}$, puis tu détermines $C$ avec la condition initiale. Par exemple, $4y' + 3y = 0$ avec $f(0) = 5$ donne $f(x) = 5\mathrm{e}^{-\frac{3}{4}x}$.

Comment calculer une demi-vie avec une équation différentielle ?

Si $N(t) = N_0\mathrm{e}^{at}$ avec $a < 0$, tu résous $N(T) = \frac{N_0}{2}$, soit $\mathrm{e}^{aT} = 0{,}5$. Pour $a = -0{,}05$, on trouve $T = 20\ln 2 \approx 13{,}9$.