Probabilités, Bernoulli et loi des grands nombres (Terminale)

Q: Comment reconnaître une loi binomiale ?

Il faut répéter n fois une même épreuve à deux issues, de façon indépendante, et compter le nombre de succès. Les paramètres sont n et la probabilité p du succès.

Q: Comment calculer P(X = k) avec une loi binomiale ?

Tu appliques P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. Par exemple, pour \mathcal{B}(3;0{,}4), P(X = 2) = 3 \times 0{,}4^2 \times 0{,}6 = 0{,}288.

Q: Que dit la loi des grands nombres ?

Quand la taille n de l'échantillon augmente, la probabilité que la moyenne M_n s'écarte de l'espérance d'au moins \delta tend vers 0. La fréquence observée se rapproche donc de la probabilité théorique.

Dans ce chapitre de probabilités, tu modélises la répétition d'expériences à deux issues avec la loi binomiale, puis tu étudies les sommes et les moyennes de variables aléatoires. Les inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de concentration mènent à la loi des grands nombres, qui explique pourquoi une fréquence observée se rapproche d'une probabilité.

Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli a deux issues, succès de probabilité $p$ et échec ; si $X$ suit cette loi, $E(X) = p$ et $V(X) = p(1-p)$ .
Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Si $X$ suit $\mathcal{B}(n;p)$ , alors $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$ .
$E(X) = np$ , $V(X) = np(1-p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ .

Sommes de variables aléatoires

Linéarité : $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ et $E(aX+b) = aE(X)+b$ .
$V(aX+b) = a^2V(X)$ , et $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
La somme d'un échantillon de taille $n$ de la loi de Bernoulli de paramètre $p$ suit la loi $\mathcal{B}(n;p)$ .
Moyenne d'un échantillon : $M_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ , avec $E(M_n) = E(X)$ et $V(M_n) = \frac{V(X)}{n}$ .

Inégalités et loi des grands nombres

Bienaymé-Tchebychev : pour $\delta > 0$ , $P\big(|X-E(X)| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(X)}{\delta^2}$ .
Inégalité de concentration : $P\big(|M_n-E(X)| \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(X)}{n\delta^2}$ .
Loi des grands nombres : $\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_n-E(X)| \geqslant \delta\big) = 0$ .
Plus l'échantillon est grand, plus sa moyenne est proche de l'espérance.

Exemple corrigé

$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$ . Déterminer une taille $n$ d'échantillon telle que $P(0{,}1 < M_n < 0{,}5) \geqslant 0{,}95$ .

Comme $E(X) = 0{,}3$ , on cherche $P\big(|M_n-0{,}3| < 0{,}2\big) \geqslant 0{,}95$ , soit $P\big(|M_n-0{,}3| \geqslant 0{,}2\big) \leqslant 0{,}05$ .
$V(X) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$ .
Par l'inégalité de concentration, il suffit que $\frac{0{,}21}{n \times 0{,}04} \leqslant 0{,}05$ .
Cela donne $n \geqslant \frac{0{,}21}{0{,}05 \times 0{,}04} = 105$ : un échantillon de taille $105$ ou plus convient.

Ce que tu sauras faire

Savoir reconnaître un schéma de Bernoulli et une loi binomiale.
Savoir calculer $P(X = k)$ , l'espérance et la variance d'une loi binomiale.
Savoir déterminer la loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
Savoir utiliser la linéarité de l'espérance et les propriétés de la variance.
Savoir appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Savoir déterminer une taille d'échantillon avec l'inégalité de concentration.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une loi binomiale ?

Il faut répéter $n$ fois une même épreuve à deux issues, de façon indépendante, et compter le nombre de succès. Les paramètres sont $n$ et la probabilité $p$ du succès.

Comment calculer P(X = k) avec une loi binomiale ?

Tu appliques $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ . Par exemple, pour $\mathcal{B}(3;0{,}4)$ , $P(X = 2) = 3 \times 0{,}4^2 \times 0{,}6 = 0{,}288$ .

Que dit la loi des grands nombres ?

Quand la taille $n$ de l'échantillon augmente, la probabilité que la moyenne $M_n$ s'écarte de l'espérance d'au moins $\delta$ tend vers $0$ . La fréquence observée se rapproche donc de la probabilité théorique.