Probabilités conditionnelles (Première)

Q: Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Si p(A) \neq 0, la probabilité de B sachant A est p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}. Dans un arbre pondéré, c'est la probabilité inscrite sur la branche qui va de A vers B.

Q: Que dit la formule des probabilités totales ?

Si A et \overline{A} forment une partition de l'univers, alors p(B) = p(A) \times p_A(B) + p(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(B). Cela revient à additionner les probabilités des chemins de l'arbre qui mènent à B.

Ce chapitre de Première t'apprend à calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement est déjà réalisé, une situation très fréquente. Tu utilises les arbres pondérés, les tableaux croisés et la formule des probabilités totales, puis tu étudies l'indépendance de deux événements.

Définitions

Si $p(A) \neq 0$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ est $p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$ .
On en déduit $p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B)$ .
Rappels : $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$ et $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$ .
Un tableau croisé de probabilités donne les probabilités des intersections, et ses marges celles de chaque événement.

Arbres pondérés et probabilités totales

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Formule des probabilités totales : $p(B) = p(A) \times p_A(B) + p(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(B)$ .

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$ .
Si $p(A) \neq 0$ , c'est équivalent à $p_A(B) = p(B)$ : la réalisation de $A$ ne change pas la probabilité de $B$ .
Indépendance et incompatibilité sont deux notions différentes.
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi.

Exemple corrigé

Une maladie touche $2\,\%$ de la population. Un test est positif dans $95\,\%$ des cas chez un malade et dans $10\,\%$ des cas chez une personne saine. Calcule $p(T^+)$ puis $p_{T^+}(M)$ .

On a $p(M) = 0{,}02$ , $p(\overline{M}) = 0{,}98$ , $p_M(T^+) = 0{,}95$ et $p_{\overline{M}}(T^+) = 0{,}10$ .
Probabilités totales : $p(T^+) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}10 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117$ .
$p_{T^+}(M) = \frac{p(M \cap T^+)}{p(T^+)} = \frac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162$ .
Seulement environ $16{,}2\,\%$ des personnes testées positives sont réellement malades, à cause de la faible proportion de malades.

Ce que tu sauras faire

Savoir calculer une probabilité conditionnelle
Savoir construire et exploiter un arbre pondéré
Savoir appliquer la formule des probabilités totales
Savoir utiliser un tableau croisé de probabilités
Savoir démontrer que deux événements sont indépendants ou non
Savoir calculer une probabilité conditionnelle inversée, comme $p_{T^+}(M)$

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Si $p(A) \neq 0$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ est $p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$ . Dans un arbre pondéré, c'est la probabilité inscrite sur la branche qui va de $A$ vers $B$ .

Que dit la formule des probabilités totales ?

Si $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, alors $p(B) = p(A) \times p_A(B) + p(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(B)$ . Cela revient à additionner les probabilités des chemins de l'arbre qui mènent à $B$ .

Quelle différence entre événements indépendants et incompatibles ?

Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps : $A \cap B = \varnothing$ . Des événements indépendants peuvent se produire ensemble, mais la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$ .