Probabilités (Seconde)

Q: Comment calculer la probabilité de A ou B ?

Tu utilises P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), pour ne pas compter deux fois les issues communes. Si A et B sont incompatibles, P(A \cap B) = 0 et il suffit d'additionner.

Q: Comment utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

Tu calcules \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] puis la fréquence observée f. Si f est dans l'intervalle, l'affirmation est compatible avec l'observation ; sinon, on peut la remettre en cause au seuil de 95 %.

Dans ce chapitre de Seconde, tu apprends à modéliser une expérience aléatoire, à calculer la probabilité d'un événement, de son contraire, d'une réunion ou d'une intersection. Tu découvres aussi l'échantillonnage et l'intervalle de fluctuation, qui servent à juger si une affirmation est compatible avec des observations.

Vocabulaire et calculs

L'univers $\Omega$ est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire ; un événement est un ensemble d'issues.
Une probabilité est comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).
En situation d'équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues total}}$ .
Dans une loi de probabilité, la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.

Opérations sur les événements

Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
$A \cap B$ contient les issues de $A$ et de $B$ ; $A \cup B$ celles de $A$ ou de $B$ .
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \varnothing$ ) : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Un arbre des possibles représente toutes les issues d'une expérience à plusieurs épreuves : chaque chemin est une issue.

Échantillonnage

Un échantillon de taille $n$ est formé des résultats de $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience.
Loi des grands nombres : quand $n$ devient grand, la fréquence observée est le plus souvent proche de la probabilité.
La fluctuation d'échantillonnage est la variation de la fréquence d'un échantillon à l'autre.
Pour $n$ assez grand, la fréquence appartient dans environ 95 % des cas à $\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ .

Exemple corrigé

On lance un dé à 10 faces. $A$ : obtenir un nombre pair, $B$ : obtenir un multiple de 5. Calculer $P(A \cup B)$ .

$A = \{2\,;4\,;6\,;8\,;10\}$ donc $P(A) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ .
$B = \{5\,;10\}$ donc $P(B) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$ .
$A \cap B = \{10\}$ donc $P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}$ .
$P(A \cup B) = \dfrac{5}{10} + \dfrac{2}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir décrire l'univers et les événements d'une expérience aléatoire
Savoir calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité
Savoir utiliser une loi de probabilité et l'événement contraire
Savoir calculer la probabilité d'une réunion et d'une intersection
Savoir dénombrer des issues à l'aide d'un arbre des possibles
Savoir utiliser un intervalle de fluctuation pour prendre une décision

Questions fréquentes

Comment calculer la probabilité de A ou B ?

Tu utilises $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , pour ne pas compter deux fois les issues communes. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cap B) = 0$ et il suffit d'additionner.

Quand utiliser l'événement contraire en probabilités ?

Dès que l'énoncé dit « au moins un ». Par exemple, avec deux lancers d'un dé à 4 faces, ne jamais obtenir 4 a pour probabilité $\dfrac{9}{16}$ , donc obtenir au moins un 4 a pour probabilité $1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}$ .

Comment utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

Tu calcules $\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ puis la fréquence observée $f$ . Si $f$ est dans l'intervalle, l'affirmation est compatible avec l'observation ; sinon, on peut la remettre en cause au seuil de 95 %.