Produit scalaire (Première)

Le produit scalaire associe un nombre réel à deux vecteurs. Dans ce chapitre de Première, tu apprends à le calculer de plusieurs façons (cosinus, projection, coordonnées, normes) et à l'utiliser pour démontrer une orthogonalité, calculer des longueurs et des angles.

Définitions et expressions

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$ ; le résultat est un nombre réel.
• Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$.
• Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
• Avec les normes : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.

Propriétés

• Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.
• Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
• $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ et $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Applications

• Théorème d'Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$, qui généralise Pythagore.
• Formule de la médiane : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^2 - \frac{BC^2}{4}$, avec $I$ milieu de $[BC]$.
• Calcul d'angle : $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$.
• $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.

Exemple corrigé

Dans un repère orthonormé, on donne $A(2 ; 1)$, $B(5 ; 5)$ et $C(-1 ; 4)$. Détermine la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

1. On calcule les coordonnées : $\overrightarrow{AB}(3 ; 4)$ et $\overrightarrow{AC}(-3 ; 3)$.
2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times (-3) + 4 \times 3 = -9 + 12 = 3$.
3. $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$ et $AC = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$.
4. $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{3}{5 \times 3\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$, donc $\widehat{BAC} \approx 81{,}9^{\circ}$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer un produit scalaire avec les normes et l'angle
• Savoir calculer un produit scalaire par projection orthogonale
• Savoir calculer un produit scalaire avec les coordonnées dans un repère orthonormé
• Savoir démontrer que deux droites sont perpendiculaires
• Savoir utiliser le théorème d'Al-Kashi pour calculer une longueur ou un angle
• Savoir utiliser la formule de la médiane

Questions fréquentes

Comment calculer un produit scalaire avec des coordonnées ?

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$. Par exemple, avec $\vec{u}(3 ; -2)$ et $\vec{v}(4 ; 7)$, on obtient $12 - 14 = -2$.

Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ?

Il suffit de montrer que leur produit scalaire est nul. En coordonnées dans un repère orthonormé, cela revient à vérifier que $xx' + yy' = 0$.

À quoi sert le théorème d'Al-Kashi ?

Il permet de calculer un côté ou un angle dans un triangle quelconque : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})$. Si l'angle $\widehat{A}$ est droit, on retrouve le théorème de Pythagore.