Proportionnalité (3ème)

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître une situation de proportionnalité, à calculer une quatrième proportionnelle et à utiliser le produit en croix. Tu travailleras aussi les pourcentages, les augmentations et réductions, le taux d'évolution et la représentation graphique, très utiles dans la vie courante.

Reconnaître la proportionnalité

• Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre $k$.
• Dans un tableau de proportionnalité, tous les quotients $\frac{y}{x}$ sont égaux à $k$.
• Contre-exemple : un prix avec frais fixes ($8$ € pour $1$, $13$ € pour $2$) n'est pas proportionnel car $\frac{8}{1} \neq \frac{13}{2}$.
• Produit en croix : si $\frac{a}{c} = \frac{b}{x}$ dans le tableau, alors $x = \frac{b \times c}{a}$.

Pourcentages

• $p\,\%$ de $a$ vaut $\frac{p}{100} \times a$ : $20\,\%$ de $150$ vaut $30$.
• Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$.
• Diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ : $-30\,\%$ correspond à $\times 0{,}70$.
• Taux d'évolution : $t = \frac{V_{\text{arrivée}} - V_{\text{départ}}}{V_{\text{départ}}} \times 100$.

Représentation graphique

• Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l'origine.
• Le coefficient $k$ se lit avec n'importe quel point $(x\,;\,y)$ de la droite : $k = \frac{y}{x}$.
• Elle correspond à une fonction linéaire $x \mapsto kx$, par exemple $d = 0{,}4 \times t$ pour un cycliste.

Exemple corrigé

Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de $1\,600$ à $2\,200$. Calcule le taux d'évolution en pourcentage.

1. On applique la formule : $t = \frac{2\,200 - 1\,600}{1\,600} \times 100$.
2. La variation vaut $2\,200 - 1\,600 = 600$, donc $t = \frac{600}{1\,600} \times 100$.
3. $\frac{600}{1\,600} = 0{,}375$, donc $t = 37{,}5$.
4. Le nombre d'abonnés a augmenté de $37{,}5\,\%$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître un tableau de proportionnalité
• Savoir calculer une quatrième proportionnelle par le produit en croix
• Savoir calculer un pourcentage d'une quantité
• Savoir appliquer une augmentation ou une réduction avec un coefficient multiplicateur
• Savoir calculer un taux d'évolution
• Savoir reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité

Questions fréquentes

Comment savoir si un tableau est proportionnel ?

Tu calcules les quotients de la deuxième ligne par la première. S'ils sont tous égaux, le tableau est proportionnel et ce quotient commun est le coefficient de proportionnalité.

Comment faire un produit en croix ?

Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases dont une inconnue, tu multiplies les deux nombres en diagonale puis tu divises par le troisième. Pour $200$ g pour $4$ personnes, il faut $\frac{7 \times 200}{4} = 350$ g pour $7$ personnes.

Comment calculer une baisse de 40 % ?

Tu multiplies par le coefficient $1 - \frac{40}{100} = 0{,}60$. Un vêtement à $75$ € soldé à $-40\,\%$ coûte $75 \times 0{,}60 = 45$ €.