Proportionnalité et pourcentages (5ème)

Dans ce chapitre, tu apprends à reconnaître une situation de proportionnalité et à compléter un tableau avec le coefficient, le passage à l'unité ou la linéarité. Tu appliques ensuite ces outils aux pourcentages, aux échelles, aux ratios et à la vitesse moyenne, très utiles au quotidien.

Reconnaître et utiliser la proportionnalité

• Un tableau est de proportionnalité si on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par un même nombre, le coefficient de proportionnalité.
• Il faut tester tous les quotients, pas seulement le premier.
• Passage à l'unité : si $5\text{ m}^2$ coûtent $60$ euros, $1\text{ m}^2$ coûte $60 \div 5 = 12$ euros.
• Linéarité : on peut additionner deux colonnes ou multiplier une colonne par un même nombre.

Pourcentages

• Calculer $t\,\%$ d'une quantité $Q$, c'est calculer $\frac{t}{100} \times Q$.
• Une réduction de $30\,\%$ sur $65$ euros vaut $0{,}3 \times 65 = 19{,}50$ euros, d'où un nouveau prix de $45{,}50$ euros.
• $360$ élèves sur $800$ représentent $\frac{360}{800} = 0{,}45 = 45\,\%$.

Échelles, ratios et vitesse

• Une échelle $\frac{1}{n}$ signifie que $1$ cm sur la carte représente $n$ cm en réalité.
• $a$ et $b$ sont dans le ratio $p : q$ si $\frac{a}{p} = \frac{b}{q}$.
• La vitesse moyenne vaut $v = \frac{d}{t}$, avec des unités compatibles (km et h donnent des km/h).
• On en déduit $t = \frac{d}{v}$ : $360$ km à $160$ km/h prennent $2{,}25$ h, soit $2$ h $15$ min.

Exemple corrigé

Trois amis se partagent $156$ billes dans le ratio $2 : 5 : 6$. Combien chacun reçoit-il ?

1. Somme des parts du ratio : $2 + 5 + 6 = 13$.
2. Valeur d'une part : $156 \div 13 = 12$.
3. Parts : $2 \times 12 = 24$, $5 \times 12 = 60$ et $6 \times 12 = 72$ billes.
4. Vérification : $24 + 60 + 72 = 156$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître une situation de proportionnalité.
• Savoir compléter un tableau avec le coefficient, le passage à l'unité ou la linéarité.
• Savoir appliquer et calculer un pourcentage.
• Savoir utiliser une échelle sur une carte ou une maquette.
• Savoir partager une quantité selon un ratio donné.
• Savoir calculer une vitesse moyenne, une distance ou une durée.

Questions fréquentes

Comment savoir si un tableau est proportionnel ?

Tu divises chaque nombre de la deuxième ligne par celui de la première. Si tu trouves toujours le même quotient, c'est un tableau de proportionnalité : par exemple $9 \div 1{,}5 = 18 \div 3 = 27 \div 4{,}5 = 6$.

Comment calculer un pourcentage d'un nombre ?

Tu multiplies le nombre par le pourcentage divisé par $100$. Par exemple, $30\,\%$ de $65$ donne $\frac{30}{100} \times 65 = 19{,}5$.

Comment calculer une distance réelle avec une échelle ?

Tu multiplies la longueur sur la carte par le dénominateur de l'échelle. À l'échelle $\frac{1}{25\,000}$, $6{,}5$ cm correspondent à $6{,}5 \times 25\,000 = 162\,500$ cm, soit $1{,}625$ km.