Puissances (3ème)

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à calculer avec les puissances, y compris avec des exposants négatifs, et à utiliser les règles de calcul sur les exposants. Tu maîtriseras les puissances de 10 et la notation scientifique, indispensables pour écrire de très grands ou de très petits nombres en sciences.

Définition

• Pour $n \geq 1$ : $a^n = a \times a \times \cdots \times a$ ($n$ facteurs), $a$ est la base et $n$ l'exposant.
• Pour $a \neq 0$ : $a^1 = a$, $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
• $(-2)^4 = 16$ mais $-2^4 = -16$ : dans $-2^4$, l'exposant ne porte que sur $2$.
• Exemple : $5^{-2} = \frac{1}{25}$.

Règles de calcul

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$ : on additionne les exposants.
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ : on soustrait les exposants.
• $(a^m)^n = a^{m \times n}$ et $(a \times b)^n = a^n \times b^n$.
• Exemple : $\frac{3^7}{3^4} = 3^3 = 27$.

Puissances de 10 et notation scientifique

• $10^n$ s'écrit $1$ suivi de $n$ zéros ; $10^{-3} = 0{,}001$.
• Préfixes : nano $10^{-9}$, micro $10^{-6}$, milli $10^{-3}$, kilo $10^3$, méga $10^6$, giga $10^9$.
• Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier relatif.
• Exemples : $38\,600 = 3{,}86 \times 10^4$ et $0{,}00415 = 4{,}15 \times 10^{-3}$.

Exemple corrigé

Donne l'écriture scientifique de $E = (3 \times 10^4) \times (5 \times 10^{-7})$.

1. On regroupe les nombres décimaux et les puissances de 10 : $E = (3 \times 5) \times (10^4 \times 10^{-7})$.
2. $3 \times 5 = 15$ et $10^4 \times 10^{-7} = 10^{4 - 7} = 10^{-3}$, donc $E = 15 \times 10^{-3}$.
3. Comme $15 = 1{,}5 \times 10^1$, on obtient $E = 1{,}5 \times 10^{1 - 3}$.
4. Écriture scientifique : $E = 1{,}5 \times 10^{-2}$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer une puissance d'exposant positif, nul ou négatif
• Savoir appliquer les règles de calcul sur les puissances
• Savoir calculer avec les puissances de 10
• Savoir utiliser les préfixes du nano au giga
• Savoir écrire un nombre en notation scientifique
• Savoir calculer avec la notation scientifique

Questions fréquentes

Combien vaut un nombre puissance 0 ?

Pour tout nombre $a$ non nul, $a^0 = 1$. Par exemple $6^0 = 1$.

Comment calculer une puissance négative ?

Un exposant négatif correspond à un inverse : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Par exemple $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Comment écrire un nombre en notation scientifique ?

Tu l'écris sous la forme $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$. Par exemple $38\,600 = 3{,}86 \times 10^4$ et $0{,}00415 = 4{,}15 \times 10^{-3}$.