Puissances et racines carrées (4ème)

Dans ce chapitre de 4ème, tu apprends à calculer des puissances, à manipuler les puissances de 10 et à écrire un nombre en notation scientifique, puis tu découvres la racine carrée. Ces outils servent à écrire de très grands ou très petits nombres, comme en sciences, et à préparer le théorème de Pythagore.

Puissances d'un nombre

• Pour $n \geqslant 2$ : $a^n = a \times a \times \cdots \times a$ avec $n$ facteurs, par exemple $2^5 = 32$.
• Cas particuliers : $a^1 = a$, $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$), $0^n = 0$ et $1^n = 1$.
• Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair : $(-3)^3 = -27$.
• Attention : $(-2)^4 = 16$ mais $-2^4 = -16$.

Puissances de 10

• $10^n$ s'écrit $1$ suivi de $n$ zéros : $10^4 = 10\,000$.
• $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ : $10^{-3} = 0{,}001$.
• Règles : $10^n \times 10^p = 10^{n+p}$, $\frac{10^n}{10^p} = 10^{n-p}$ et $(10^n)^p = 10^{n \times p}$.
• Préfixes : giga $10^9$, méga $10^6$, kilo $10^3$, milli $10^{-3}$, micro $10^{-6}$, nano $10^{-9}$.

Notation scientifique

• La notation scientifique d'un nombre est $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant |a| < 10$ et $n$ entier relatif.
• Exemple : $7\,200\,000 = 7{,}2 \times 10^6$ et $0{,}004\,18 = 4{,}18 \times 10^{-3}$.
• $12{,}4 \times 10^5$ n'est pas en notation scientifique car $12{,}4 \geqslant 10$.
• Pour corriger une écriture, on transforme $a$ puis on ajoute les exposants : $256{,}7 \times 10^4 = 2{,}567 \times 10^6$.

Racine carrée

• La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif $\sqrt{a}$ dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{144} = 12$.
• La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
• En général $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ : $\sqrt{9 + 16} = 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.
• On encadre une racine avec deux carrés parfaits : $49 < 50 < 64$ donc $7 < \sqrt{50} < 8$.

Exemple corrigé

Donne la notation scientifique de $E = 0{,}0183 \times 10^{-3}$.

1. On écrit $0{,}0183$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule : $0{,}0183 = 1{,}83 \times 10^{-2}$.
2. Donc $E = 1{,}83 \times 10^{-2} \times 10^{-3}$.
3. On ajoute les exposants : $10^{-2} \times 10^{-3} = 10^{-5}$.
4. $E = 1{,}83 \times 10^{-5}$, avec bien $1 \leqslant 1{,}83 < 10$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer une puissance d'un nombre relatif
• Savoir passer d'une puissance de 10 à l'écriture décimale et inversement
• Savoir utiliser les règles de calcul sur les puissances de 10
• Savoir utiliser les préfixes de nano à giga
• Savoir écrire un nombre en notation scientifique
• Savoir calculer et encadrer une racine carrée

Questions fréquentes

Comment écrire un nombre en notation scientifique ?

Tu l'écris sous la forme $a \times 10^n$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule dans $a$. Par exemple $149\,600\,000 = 1{,}496 \times 10^8$ et $0{,}000\,007 = 7 \times 10^{-6}$.

Combien vaut un nombre puissance 0 ?

Tout nombre non nul élevé à la puissance $0$ vaut $1$ : $247^0 = 1$. Attention, $-8^0 = -1$ car le signe $-$ n'est pas concerné par la puissance.

Comment encadrer une racine carrée entre deux entiers ?

Tu cherches les deux carrés parfaits consécutifs qui entourent le nombre. Par exemple $25 < 30 < 36$, donc $5 < \sqrt{30} < 6$.