Racines carrées (3ème)

Q: Peut-on calculer la racine carrée d'un nombre négatif ?

Non. Un carré est toujours positif, donc aucun nombre n'a un carré négatif : \sqrt{a} n'existe que pour a \geq 0.

Q: Combien de solutions a l'équation x² = 25 ?

Deux solutions : 5 et -5, car 5^2 = 25 et (-5)^2 = 25. En revanche \sqrt{25} = 5 uniquement, car une racine carrée est toujours positive.

Q: Est-ce que √(a + b) = √a + √b ?

Non. Par exemple \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, alors que \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7.

Dans ce chapitre, tu vas découvrir la racine carrée d'un nombre positif, mémoriser les carrés parfaits et résoudre l'équation $x^2 = a$ . Tu apprendras à encadrer et approcher une racine carrée, ce qui te sert directement pour calculer des longueurs avec le théorème de Pythagore.

Définition

La racine carrée d'un nombre $a \geq 0$ , notée $\sqrt{a}$ , est le nombre positif dont le carré vaut $a$ .
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
Pour tout $a \geq 0$ : $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$ .
Exemples : $\sqrt{64} = 8$ , $\sqrt{121} = 11$ , $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ .

Équation x² = a

Si $a > 0$ , l'équation $x^2 = a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .
Si $a = 0$ , elle a une seule solution : $0$ .
Si $a < 0$ , elle n'a aucune solution, car un carré est toujours positif.
Exemple : $x^2 = 49$ donne $x = 7$ ou $x = -7$ .

Valeurs approchées

Les carrés parfaits de $0$ à $144$ ( $1, 4, 9, 16, \ldots, 121, 144$ ) sont à connaître.
On encadre une racine entre deux entiers : $36 < 40 < 49$ donc $6 < \sqrt{40} < 7$ .
La calculatrice donne ensuite une valeur approchée : $\sqrt{40} \approx 6{,}32$ .
Pour aller plus loin (programme de seconde) : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ , mais $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

Exemple corrigé

Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de $3$ cm et $5$ cm. Calcule la longueur $h$ de l'hypoténuse.

D'après le théorème de Pythagore : $h^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$ .
$h$ est une longueur, donc positive : $h = \sqrt{34}$ cm.
Encadrement : $25 < 34 < 36$ , donc $5 < \sqrt{34} < 6$ .
À la calculatrice : $h \approx 5{,}83$ cm.

Ce que tu sauras faire

Savoir définir et calculer la racine carrée d'un carré parfait
Savoir utiliser $(\sqrt{a})^2 = a$
Savoir résoudre une équation du type $x^2 = a$
Savoir encadrer une racine carrée entre deux entiers
Savoir utiliser les racines carrées avec le théorème de Pythagore

Questions fréquentes

Peut-on calculer la racine carrée d'un nombre négatif ?

Non. Un carré est toujours positif, donc aucun nombre n'a un carré négatif : $\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \geq 0$ .

Combien de solutions a l'équation x² = 25 ?

Deux solutions : $5$ et $-5$ , car $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$ . En revanche $\sqrt{25} = 5$ uniquement, car une racine carrée est toujours positive.

Est-ce que √(a + b) = √a + √b ?

Non. Par exemple $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .