Raisonnement par récurrence (Terminale)

Q: Comment rédiger une récurrence ?

Tu poses la propriété \mathcal{P}(n), tu vérifies l'initialisation, tu montres l'hérédité en supposant \mathcal{P}(n) vraie pour prouver \mathcal{P}(n+1), puis tu conclus par le principe de récurrence.

Q: Comment montrer qu'une suite est décroissante par récurrence ?

Tu prends \mathcal{P}(n) : u_{n+1} \leqslant u_n. Tu vérifies au rang 0, puis tu appliques aux deux membres une fonction croissante f telle que u_{n+1} = f(u_n) pour obtenir u_{n+2} \leqslant u_{n+1}.

Dans ce chapitre d'analyse, tu apprends à démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d'un rang, grâce au principe des dominos. La récurrence te sert à prouver des formules de sommes, des inégalités, des divisibilités et surtout des encadrements ou la monotonie de suites.

Principe de récurrence

Initialisation : on vérifie que $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie.
Hérédité : pour tout $n \geqslant n_0$ , si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
Conclusion : par le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$ .
Les deux étapes sont indispensables : sans initialisation, aucun domino ne tombe.

Résultats classiques

$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ et $1+3+\cdots+(2n-1) = n^2$ .
$1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .
Inégalité de Bernoulli : pour $a > 0$ et $n \geqslant 0$ , $(1+a)^n \geqslant 1+na$ .
$n! \geqslant 2^n$ pour tout $n \geqslant 4$ : l'initialisation se fait ici au rang $4$ .
$6^n - 1$ est divisible par $5$ pour tout entier $n \geqslant 0$ .

Méthode

Écrire clairement $\mathcal{P}(n)$ , puis $\mathcal{P}(n+1)$ en remplaçant $n$ par $n+1$ .
Dans l'hérédité, utiliser l'hypothèse de récurrence (HR) au bon moment.
Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ , la récurrence permet de prouver un encadrement ou la monotonie.
Ne jamais supposer $\mathcal{P}(n+1)$ : c'est ce qu'on doit démontrer.

Exemple corrigé

Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ , $1+3+5+\cdots+(2n-1) = n^2$ .

Initialisation : pour $n = 1$ , le membre de gauche vaut $1$ et $1^2 = 1$ , donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.
Hérédité : on suppose $1+3+\cdots+(2n-1) = n^2$ pour un entier $n \geqslant 1$ fixé.
Alors $1+3+\cdots+(2n-1)+(2n+1) = n^2+2n+1 = (n+1)^2$ par (HR), donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
Conclusion : par le principe de récurrence, l'égalité est vraie pour tout $n \geqslant 1$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir rédiger une démonstration par récurrence complète.
Savoir démontrer une formule de somme par récurrence.
Savoir démontrer une inégalité par récurrence.
Savoir démontrer une propriété de divisibilité par récurrence.
Savoir démontrer l'encadrement ou la monotonie d'une suite récurrente.
Savoir choisir le bon rang d'initialisation.

Questions fréquentes

Comment rédiger une récurrence ?

Tu poses la propriété $\mathcal{P}(n)$ , tu vérifies l'initialisation, tu montres l'hérédité en supposant $\mathcal{P}(n)$ vraie pour prouver $\mathcal{P}(n+1)$ , puis tu conclus par le principe de récurrence.

Pourquoi l'initialisation est-elle obligatoire ?

Sans elle, l'hérédité peut être vraie alors que la propriété est fausse pour tous les entiers. C'est comme une rangée de dominos où l'on ne fait jamais tomber le premier.

Comment montrer qu'une suite est décroissante par récurrence ?

Tu prends $\mathcal{P}(n)$ : $u_{n+1} \leqslant u_n$ . Tu vérifies au rang $0$ , puis tu appliques aux deux membres une fonction croissante $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ pour obtenir $u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$ .